Pi как рассчитать: Индекс прибыльности и рентабельности инвестиций » FxTrend.info

Содержание

Функция ПИ

В этой статье описаны синтаксис формулы и использование функции ПИ в Microsoft Excel.

Описание

Возвращает число 3,14159265358979 — математическую константу «пи» с точностью до 15 цифр.

Синтаксис

ПИ()

У функции ПИ нет аргументов.

Пример

Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.

Данные

Радиус

3

Формула

Описание

Результат

=ПИ()

Возвращает число «пи».

2)

Площадь круга с радиусом, указанным в ячейке A3.

28,27433388

PI System

PI ADVANCED COMPUTING ENGINE (PI ACE) — Среда выполнения инженерных расчетов

Анализ производительности и эффективности в реальном времени, подсчет затрат и стоимости выработанного продукта, расчет неизменяемых напрямую величин и вычисление по различным формулам с поправочными коэффициентами — все это требует математических вычислений различной сложности и периодичности. Максимально облегчая построение всевозможных вычислений, PI Advanced Computing Engine (среда выполнения инженерных расчетов) позволяет сфокусировать усилия инженеров на превращении текущих данных о производстве в полезную и нужную информацию. PI ACE позволяет создавать шаблоны вычислений для однотипных объектов, хранящихся в MDB, которые помогают стандартизировать и автоматизировать разработку вычислений для технологических процессов, что значительно снижает трудоемкость работы программистов.

PI ACE состоит из трех базовых компонентов:

  • ACE Wizard: надстройка к Visual Basic, осуществляет быстрое поэтапное создание ACE модулей для вычислений.
  • ACE Manager: позволяет пользователям следить и изменять различные настройки и свойства вычислительных модулей.
  • ACE Scheduler: планировщик вычислений, который осуществляет запуск расчетов и следит за их выполнением, а также позволяет выполнять расчеты по расписанию или по возникновению событий в тегах PI System.
PI PSA — Компоненты предоставления доступа к данным PI сервера через PI API, PI SDK/AF SDK, PI ODBC, PI OLEDB, PI OLEDB Enterprise, PI JDBC, PI Web Services и PI OPC DA/HDA Server

PI PSA используется компанией OSIsoft для создания собственных приложений, входящих в состав PI System. PI PSA включает:

  • PI API (Application Programming Interface) — набор библиотек функций, обеспечивающих базовое взаимодействие с PI System (чтение/запись данных, работа с логом системы, работа с архивом реального времени, буферизация данных).
  • PI SDK (Software Development Kit) — расширенный объектно-ориентированный набор инструментов программирования. PI SDK обеспечивает интерфейс программного взаимодействия со всеми подсистемами сервера PI System, позволяя на программном уровне управлять работой всей системы в целом. Поставляется вместе с элементами управления ActiveX (стандартными диалогами и ActiveX, входящими в них), вместе со вспомогательными библиотеками кода, а так же с оперативной документацией и примерами программ. Поскольку PI-SDK основан на Microsoft’s Component Object Model (Компонентная объектная модель — COM), его можно использовать с большинством сред программирования. В частности, этот пакет хорошо интегрируется с Microsoft Visual Basic, гарантируя быструю разработку и внедрение приложений. PI-SDK обеспечивает объектно-ориентированный подход к программному взаимодействию с PI System. Он предоставляет пользователю иерархическую модель объектов и их коллекций, которые соответствуют компонентам системы. Такой подход интуитивно обоснован и отличается большой эффективностью
  • Драйвер PI ODBC (Open Database Connectivity) — обеспечивает возможность серверу PI System обрабатывать внешние SQL-запросы. Драйвер PI ODBC представляет сервер PI System как набор реляционных таблиц, хранящий информацию о текущих и агрегированных технологических данных. Внешние информационные системы сами инициируют запросы к серверу PI System. Работа драйвера основывается на стандартной технологии ODBC компании Microsoft, что делает PI System очень гибкой и позволяет внешним информационным системами легко оперировать данными из PI System
  • Провайдер PI OLEDB (Object Linking and Embedding Database) — формирует современный эффективный интерфейс для взаимодействия новейших информационных систем и PI System. Провайдер PI OLEDB, являясь закономерным развитием драйвера PI ODBC, использует наиболее современную технологию доступа к данным OLEDB компании Microsoft, представляя в реляционном виде подсистемы сервера PI System включая модульную базу данных и базу данных моделей
  • PI Web Services — позволяют клиентским приложениям получать данные из PI System по стандартным интернет протоколам используя простые запросы, что даёт возможность интегрировать данные независимо от языка программирования и операционной системы.
  • PI OPC DA/HDA Server — OPC сервер для архивов PI позволяет осуществлять доступ к базам данных PI, используя стандарты OPC Data Access 1.0a, 2.05 и OPC Historical Data Access стандарта 1.2. OPC сервер обеспечивает синхронное/ асинхронное чтение, чтение данных по изменению, запись и удаление данных и т.д.
PI STATISTICAL QUALITY CONTROL (PI SQC) — Модуль статистического контроля качества

Серверное приложение PI SQC (RealTime Statistical Quality Control), выполняющее функции статистического контроля качества ведения технологического процесса. В основе PI SQC лежит тот факт, что все процессы изменяются. Эти флуктуации могут быть естественными (natural) или неестественными (unnatural). Естественные флуктуации, как правило, малы, в то время как неестественные флуктуации больше по величине, а возникают они по внешним причинам. PI SQC предоставляет набор простых инструментов для идентификации случаев неестественных флуктуаций, благодаря чему можно установить и устранить их причины. PI SQC использует численные методы мониторинга характеристик процесса и контролирует его ход в заранее определенных пределах. Статистические контрольные пределы можно рассчитать для любой заданной совокупности данных, после чего можно проверять соответствие данных этим пределам. Если данные находятся внутри этих предельных значений, то про такие данные говорят, что они соответствуют естественному паттерну. При возникновении неприемлемого отклонения от нормы, SQC генерирует и передает тревогу об этом событии в подсистему PI SQC Alarm. 

PI AUTO POINT SYNC (PI APS) — Модуль для синхронизации архива PI сервера

PI APS (AutoPoint Sync) используется совместно с рядом интерфейсов компании OSIsoft для облегчения контроля в PI System за добавлением или удалением измерительных средств в системах DCS и SCADA.

AutoPoint Sync может быть настроен на автоматическое обновление базы данных тегов PI в соответствии с изменениями в конфигурации DSC или SCADA.

IT Monitor

IT Monitor — приложение, входящее в состав PI System, которое используется для контроля и анализа функционирования IT-структуры предприятия, с точки зрения повышения ее производительности, надежности и безопасности.

Основываясь на базовых технологиях PI System, IT Monitor унифицирует и представляет данные реального времени о состоянии сетей, сетевого оборудования и приложений. IT Monitor обладает уникальными возможностями по хранению и обработке информации, превосходящие пределы обычных инструментов мониторинга работы информационных систем. IT Monitor позволяет быстро определять «узкие» и потенциально проблемные места в IT-структуре предприятия.

IT Monitor унифицирует и отображает информацию о состоянии сети в реальном времени. Это позволяет создавать настраиваемые отчеты для наблюдения за ИТ-инфраструктурой по данным о работе сетей, устройств и программного обеспечения в масштабе целого предприятия для обеспечения оптимальной нагрузки. IT Monitor обеспечивает сбор информации о производительности сети, надежности ее функционирования и безопасности при помощи специализированных интерфейсов. Эти интерфейсы автоматически собирают, архивируют и отображают унифицированные данные от локального или удаленного оборудования, других имеющихся источников информации.

Уникальная детализация данных позволяет интерфейсам IT Monitor предоставлять в новом ракурсе информацию об изменениях состояния инфраструктуры, что дает возможность мгновенно реагировать на эти изменения, чтобы обеспечить наилучший уровень предоставления услуг.

Интерфейсы сбора IT Monitor поделены на две группы. Первая группа содержит интерфейсы, которые запрашивают данные с локального или удаленного устройства:

  • Perfmon — операционная система Windows и приложения на базе Windows
  • SNMP — любое устройство, поддерживающее протокол SNMP
  • Ping — доступность и время отклика сетевого устройства
  • TCP Response — доступность и время отклика сетевого приложения

Во вторую группу вошли интерфейсы, которые ничего не запрашивают и получают данные, отправленные локальным или удаленным устройством:

  • NetFlow — Cisco NetFlow — информация по IP-трафику
  • PacketCapture — создание данных NetFlow для устройств под Windows и Linux
  • SNMP Trap — любое устройство, поддерживающее отправку SNMP Traps
  • Syslog — любое устройство, поддерживающее отправку сообщений Syslog

PI Server выполняет интегральную обработку данных на определенных временных отрезках. Используется для итоговых и статистических отчетов по суммам, средним, максимальным и минимальным значениям, стандартным отклонениям и медианам за период накопления; для сложных вычислений по формулам, без дополнительного программирования.

Удобные интерфейсы пользователя позволяют эффективно использовать данные реального времени и историю для обеспечения производительности, надежности и безопасности функционирования ИТ-инфраструктуры. В представлении данных IT Monitor использует любое клиентское приложение, входящее в состав PI System, например, Web-портал производственных данных RtPortal или PI ProcessBook. Приложения позволяют быстро создавать и редактировать интерактивные дисплеи, отображать информацию через Web-браузер для контроля IT-структуры в любое время, в любом месте. Клиентские продукты интегрированы со стандартными офисными приложениями, например, MS Excel.

Аналитические средства IT Monitor позволяют принимать более компетентные решения за счет: активного мониторинга, прогнозов и устранения проблем до возникновения серьезных сбоев; динамического доступа к данным при поиске причин событий; удобной системы выдачи предупреждений.

PI ALARM

Подсистема PI Alarm является стандартной функцией PI, позволяющая пользователям отслеживать, обрабатывать и квитировать сообщения о тревогах, генерируемых системой при возникновении исключительных ситуаций. Подсистема Alarm обеспечивает следующие возможности:

  • Построение логических цепочек событий для генерации тревог
  • Текущее значение и архивированное значение тревоги
  • Группы тревог для организации и управления тревогами
  • Простая программа детектирования тревог, предназначенная для мониторинга числовых, дискретных и строковых параметров
  • Клиентские приложения работы с тревогами, предназначены для предупреждения операторов о том, что произошли тревоги или критически важные события

PI Alarm обеспечивает основные функции системы тревог со стороны сервера. Пакет системы тревог состоит из двух компонент.

Первая компонента — это тег тревоги (alarm point). Тревоги отображаются и архивируются в виде дискретных тегов. Специальная программа отслеживает обновленные значения числовых, дискретных и строковых тегов, а затем проверяет, не наступило ли для какой-либо из них соответствующее сконфигурированное условие возникновения тревоги.

Вторая компонента — это группа тревог (alarm group). Совокупность тегов тревог можно организовать в группу тревог. Для каждой группы тревог можно получать статистику, например, количество тегов тревог или количество неквитированных тревог. Группы тревог могут, в свою очередь, являться элементами других групп тревог, что позволяет формировать иерархии тревог.

PI Totalizer

PI Totalizer — стандартная подсистема PI System для расчета статистических показателей. Totalizer дает возможность выполнять дополнительную обработку данных, поступающих в данный тег. В результате такой обработки можно получать следующие данные:

  • Суммарное значение
  • Среднее значение
  • Минимальное значение
  • Максимальное значение
  • Диапазон изменения
  • Стандартное отклонение
  • Среднее по методу медиан

Более того, PI Totalizer позволяет подсчитывать количество событий или количество изменений определенного типа для данного тега. Результат произведенной дополнительной обработки сохраняется в отдельном теге. PI Totalizer автоматически получает сообщения об изменениях значений для какого-либо из тегов, для которых нужно выполнить дополнительную обработку.

Totalizer позволяет вычислять средние значения, дисперсии, среднеквадратичные отклонения и другие величины. Все вычисления PI Totalizer могут инициироваться и останавливаться по расписанию или при возникновении определенны.

PI Notifications

Платформа PI Notifications состоит из следующих частей: PI Analytics Scheduler/PI Analytics Processor. Этот серверный модуль, поддерживающий технологию высокой доступности, обеспечивает запуск по расписанию правил уведомлений (Scheduler) и проверку правила, т.е. его расчет (Processor). Высокая доступность позволяет убедиться в том, что ни плановые, ни внеплановые простои сервера не приведут к недоставленным уведомлениям.

Конфигурирование: уведомления хранятся в PI AF, мета-базе данных на основе SQL. Конфигурирование уведомлений может включать следующие шаги:

  • Логика уведомления (Notification Logic) (обязательно): Логика уведомления определяет условия, при которых уведомление должно быть отправлено пользователю. Эта логика может быть простой проверкой превышения порогового значения, проверкой по критериям SQC, вычислением Performance Equation, или любым их сочетанием.
  • Подписка (необязательно): Подписка определяет способ доставки сообщений пользователям, или внешним системам. Если подписка не сконфигурирована, то сообщение просто сохраняется на сервере. Каналы доставки – средства, по которым осуществляется доставка уведомлений. PI Notifications поставляется с каналами доставки Email и веб-службы (webservice). Подписки поддерживают команды реагирования (escalation teams), т.е. если адресат не доступен, сообщение посылается другому участнику команды реагирования.
  • Содержание (необязательно): Content (содержание) – дополнительная информация, которую получат адресаты вместе с уведомлением. Это могут быть мнемосхемы ProcessBook, интернет-ссылки, или любые другие документы.

Расширяемый SDK: доступен PI Notifications SDK. Этот программный интерфейс позволяет разработчикам создавать пользовательские приложения, основанные на технологии PI Notifications. Например, пользователи могут построить более функционально-насыщенный инструмент генерации отчетов, используя управляющие элементы в составе SDK. Также они могут добавить свой канал доставки сообщений (лицензируется дополнительно).

Графический интерфейс пользователя: пользователи могут конфигурировать и просматривать уведомления через PI System Explorer. Это приложение поставляется вместе с PI AF. С помощью этого приложения пользователи могут создавать логику уведомления и применять ее на один или несколько ресурсов (единиц технологического оборудования).

Клиентские приложения PI Datalink и PI ProcessBook: как PI Datalink, так и PI Processbook будут поставляться с компонентами, которые позволят пользователям интегрировать платформу с этими широко распространенными инструментами визуализации.

Формула индекса доходности | Калькулятор (шаблон Excel)

Формула индекса доходности (Содержание)

  • Формула индекса доходности
  • Примеры формулы индекса доходности (с шаблоном Excel)
  • Калькулятор формулы расчета индекса доходности

Формула индекса доходности

Индекс рентабельности — это показатель, используемый фирмами для определения взаимосвязи между затратами и выгодами от реализации предложенного проекта.

Вот формула индекса доходности —

Profitability Index = PV of Future Cash Flows / Initial Investment

Примеры формулы индекса доходности (с шаблоном Excel)

Давайте рассмотрим пример, чтобы лучше понять формулу расчета индекса доходности.

Вы можете скачать этот шаблон Excel для формулы индекса доходности здесь — Шаблон Excel для формулы индекса доходности
Формула индекса доходности — пример № 1

Давайте возьмем пример проекта А, денежные потоки которого изображены ниже:

Индекс доходности рассчитывается по приведенной ниже формуле

Индекс доходности = PV будущих денежных потоков / начальных инвестиций

Индекс рентабельности = (чистая приведенная стоимость + начальные инвестиции) / начальные инвестиции

Сначала мы рассчитаем чистую приведенную стоимость

Затем мы рассчитываем индекс доходности

Индекс доходности = (21148, 13 долл. США + 30000 долл. США) / 30000 долл. США

Индекс доходности = $ 1, 70

Формула индекса доходности — пример № 2

Давайте возьмем пример доверия, который в качестве проекта X, денежные потоки которого изображены ниже:

Индекс доходности рассчитывается по приведенной ниже формуле

Индекс доходности = PV будущих денежных потоков / начальных инвестиций

Индекс рентабельности = (чистая приведенная стоимость + начальные инвестиции) / начальные инвестиции

Сначала мы рассчитаем чистую приведенную стоимость

Затем мы рассчитываем индекс доходности

Индекс доходности = (593262.10 + 10000000) / 10000000

Индекс доходности = 1, 06

Формула индекса доходности — пример № 3

Давайте возьмем пример компании Apple, у которой есть проект Z, денежные потоки которого изображены ниже:

Индекс доходности рассчитывается по приведенной ниже формуле

Индекс доходности = PV будущих денежных потоков / начальных инвестиций

Индекс рентабельности = (чистая приведенная стоимость + начальные инвестиции) / начальные инвестиции

Сначала мы рассчитаем чистую приведенную стоимость

Затем мы рассчитываем индекс доходности

Индекс рентабельности = (17, 49 долл. США + 50 млн долл. США) / 50 млн долл. США

Индекс доходности = $ 1, 35

Пояснение формулы индекса доходности

Индекс рентабельности — это показатель, используемый фирмами для определения взаимосвязи между затратами и выгодами от реализации предложенного проекта. Эта мера используется для ранжирования проектов на основе их стоимости, созданной на единицу инвестиций.

  • Приведенная стоимость будущих денежных потоков. Как следует из названия, понятие временной стоимости денег используется для определения текущей стоимости будущих притоков денежных средств по проекту. Дисконтирование учитывает, что 1 доллар, полученный в будущем, не равен 1 доллару сегодня, и, следовательно, надлежащий коэффициент дисконтирования должен быть использован для определения стоимости будущего 1 доллара сегодня.
  • Начальные инвестиции — это первоначальные капитальные затраты на проект. Это затраты только в начале, а другие затраты в разных точках проекта не рассматриваются как начальные инвестиции.

Релевантность и использование формулы индекса доходности

Как указано, индекс рентабельности = PV будущих денежных потоков / начальных инвестиций

Это может быть далее разбито на:

Индекс рентабельности = (чистая приведенная стоимость + начальные инвестиции) / начальные инвестиции

Итак, основываясь на приведенной выше формуле:

  • Если индекс рентабельности> 1, тогда компания должна приступить к проекту, поскольку он генерирует ценность для компании
  • Если индекс рентабельности <1, то компания не должна продолжать проект, поскольку это разрушает ценность для компании.
  • Если индекс прибыльности = 1, то компания должна быть безразлична к продолжению проекта или нет, так как это не создает дополнительную ценность для компании или разрушает ценность для компании

Эта мера может использоваться, чтобы определить, какой проект должен быть сделан. Если есть несколько проектов, то должен быть выбран проект с самым высоким индексом доходности. Это делается, когда капитал ограничен, а проекты взаимоисключающие. По этой причине это называется соотношением выгод и затрат. Это отличается от концепции принятия проекта с самой высокой чистой приведенной стоимостью. Основа сравнения проектов только с чистой приведенной стоимостью не учитывает первоначальные инвестиции. Индекс рентабельности сравнивает чистую приведенную стоимость, достигнутую с первоначальными инвестициями, и показывает наиболее точное представление об использовании активов компании.

Существуют определенные преимущества и недостатки использования индекса прибыльности в качестве меры для принятия решения о том, какой проект продолжить.

Преимущества: —

  • Индекс PI может указывать, может ли предполагаемый проект, который будет предпринят, создать или разрушить ценность для компании.
  • Индекс PI учитывает временную стоимость денег и риск притока денежных средств в будущем и дисконтирует их с учетом стоимости капитала.
  • Когда существует потребность в нормировании капитала, индекс PI полезен для ранжирования проектов.

Недостатки: —

  • Индекс PI требует стоимости капитала, которую обычно сложно оценить.
  • Существует неопределенность в результатах для взаимоисключающих проектов, если первоначальные инвестиции различны.

Калькулятор формулы расчета индекса доходности

Вы можете использовать следующий калькулятор индекса доходности.

PV будущих денежных потоков
Начальные инвестиции
Индекс доходности

Индекс доходности знак равно
PV будущих денежных потоков знак равно
Начальные инвестиции
0 знак равно 0
0

Вывод

Индекс рентабельности — это показатель, используемый фирмами для определения взаимосвязи между затратами и выгодами от реализации предложенного проекта. Проекты с индексом доходности больше единицы должны быть выбраны для выполнения компанией, поскольку они создают ценность для компании. Индекс рентабельности меньше единицы указывает на то, что проект разрушает ценность для компании. Если есть несколько проектов, которые являются взаимоисключающими, то проект, который имеет самый высокий индекс доходности, должен быть выбран компанией, если у них ограниченный капитал.

Рекомендуемые статьи

Это было руководство к формуле индекса доходности. Здесь мы обсуждаем, как рассчитать индекс доходности вместе с практическими примерами. Мы также предоставляем Калькулятор индекса прибыльности с загружаемым шаблоном Excel. Вы также можете посмотреть следующие статьи, чтобы узнать больше —

  1. Расчет формулы чистой прибыли
  2. Формула для валовой прибыли
  3. Примеры формулы маржи операционной прибыли
  4. CAPM Формула

3,14 способа запомнить число π с большой точностью

Число π показывает, во сколько раз длина окружности больше ее диаметра. Неважно, какого размера окружность, — как заметили по меньшей мере еще 4 тыс. лет назад, соотношение всегда остается одним и тем же. Вопрос только, чему оно равняется.

Чтобы высчитать его приблизительно, достаточно обыкновенной нитки. Грек Архимед в III веке до н.э. применял более хитрый способ. Он чертил внутри и снаружи окружности правильные многоугольники. Складывая длины сторон многоугольников, Архимед все точнее определял вилку, в которой находится число π, и понял, что оно приблизительно равно 3,14.

Методом многоугольников пользовались еще почти 2 тыс. лет после Архимеда, это позволило узнать значение числа π вплоть до 38-й цифры после запятой. Еще один-два знака — и можно с точностью до атома рассчитать длину окружности с диаметром как у Вселенной.

Пока одни ученые использовали геометрический метод, другие догадались, что число π можно рассчитывать, складывая, вычитая, деля или умножая другие числа. Благодаря этому «хвост» вырос до нескольких сотен цифр после запятой.

С появлением первых вычислительных машин и особенно современных компьютеров точность повысилась на порядки — в 2016 году швейцарец Петер Трюб определил значение числа π

до 22,4 трлн знаков после запятой. Если напечатать этот результат в строчку 14-м кеглем нормальной ширины, то запись получится немногим короче, чем среднее расстояние от Земли до Венеры.

В принципе ничто не мешает добиться еще большей точности, но для научных расчетов в этом давно нет нужды — разве что для тестирования компьютеров, алгоритмов и для исследований в математике. А исследовать есть что. Даже про само число π известно не все. Доказано, что оно записывается в виде бесконечной непериодической дроби, то есть цифрам после запятой нет предела, и они не складываются в повторяющиеся блоки. Но вот с одинаковой ли частотой появляются цифры и их комбинации, неясно. Судя по всему, это так, но пока никто не привел строгого доказательства.

Дальнейшие вычисления проводятся в основном из спортивного интереса — и по той же причине люди пытаются запомнить как можно больше цифр после запятой.

Рекорд принадлежит индийцу Раджвиру Мине, который в 2015 году назвал на память 70 тыс. знаков, сидя с завязанными глазами почти десять часов.

Наверное, чтобы превзойти его результат, нужен особый талант. Но просто удивить друзей хорошей памятью способен каждый. Главное — использовать одну из мнемонических техник, которая потом может пригодиться и для чего-нибудь еще.

Структурировать данные

Самый очевидный способ — разбить число на одинаковые блоки. Например, можно представить π как телефонную книгу с десятизначными номерами, а можно — как причудливый учебник истории (и будущего), где перечислены годы. Много так не запомнишь, но, чтобы произвести впечатление, хватит и пары десятков знаков после запятой.

Превратить число в историю

Считается, что самый удобный способ запомнить цифры — придумать историю, где им будет соответствовать количество букв в словах (ноль было бы логично заменить пробелом, но тогда большинство слов сольется; вместо этого лучше использовать слова из десяти букв).

По этому принципу построена фраза «Можно мне большую упаковку кофейных зерен?» на английском языке:

May — 3,

I — 1

have — 4

a — 1

large — 5

container — 9

of — 2

coffee — 6

beans — 5

На эту тему

В дореволюционной России придумали похожее предложение: «Кто и шутя и скоро пожелает(ъ) Пи узнать число, уже знает(ъ)». Точность — до десятого знака после запятой: 3,1415926536. Но проще запомнить более современный вариант: «Она и была, и будет уважаемая на работе». Есть и стихотворение: «Это я знаю и помню прекрасно — пи, многие знаки мне лишни, напрасны». А советский математик Яков Перельман сочинил целый мнемонический диалог:

— Что я знаю о кругах? (3,1415)

— Вот и знаю я число, именуемое пи — молодец! (3,1415927)

— Учи и знай в числе известном за цифрой цифру, как удачу примечать! (3,14159265359)

Американский математик Майкл Кит и вовсе написал целую книгу Not A Wake, в тексте которой содержится информация о первых 10 тыс. цифр числа π.

Заменить цифры буквами

Кому-то легче запомнить бессвязные буквы, чем случайные цифры. В этом случае цифры заменяются первыми буквами алфавита. Первое слово в названии рассказа Cadaeic Cadenza Майкла Кита появилось именно таким образом. Всего в этом произведении закодировано 3835 знаков числа пи — правда, тем же способом, что в книге Not a Wake.

В русском языке для подобных целей можно использовать буквы от А до И (последняя будет соответствовать нолю). Насколько удобно будет запоминать составленные из них комбинации — вопрос открытый.

Придумать образы для комбинаций цифр

Чтобы добиться по-настоящему выдающихся результатов, предыдущие методы не годятся. Рекордсмены используют технику визуализации: изображения запомнить легче, чем цифры. Сначала нужно сопоставить каждую цифру с согласной буквой. Получится, что каждому двухзначному числу (от 00 до 99) соответствует двухбуквенное сочетание.

Допустим, один — это «н», четыре — «р», пять — «т». Тогда число 14 — это «нр», а 15 — «нт». Теперь эти пары следует дополнить другими буквами, чтобы получилось слова, например, «нора» и «нить». Всего понадобится сто слов — вроде бы много, но за ними стоят всего десять букв, поэтому запомнить не так уж сложно.

Число π предстанет в уме как последовательность образов: три целых, нора, нить и т.п. Чтобы лучше запомнить эту последовательность, изображения можно нарисовать или распечатать на принтере и поставить перед глазами. Некоторые люди просто раскладывают соответствующие предметы по комнате и вспоминают числа, разглядывая интерьер. Регулярные тренировки по этому методу позволят запомнить сотни и даже тысячи знаков после запятой — или любую другую информацию, ведь визуализировать можно не только числа.

Марат Кузаев, Кристина Недкова

Индекс рентабельности инвестиций PI

Автор статьи: Судаков А.П.

Субъекты хозяйствования, а также лица, вкладывающие средства в их деятельность должны регулярно оценивать результаты приложенных усилий и их соизмеримость с инвестициями. Проведенный анализ позволяет понять, насколько перспективна дальнейшая работа в выбранном направлении, требует ли она корректировки или может быть реализована в прежнем режиме. Оценка финансирования проекта проводится при помощи такого экономического индикатора, как индекс рентабельности, определяемый как соотношение доходов и расходов в учетном периоде. Он отображает в цифровом выражении величину прибыли, которую можно получить от единицы денежных вложений.

Рентабельность определяет уровень прибыльности проекта

Общая информация

Индекс рентабельности проекта позволяет оценить его прибыльность. Параметр применим к любому виду хозяйствования. С его помощью можно сравнить несколько компаний при выборе подходящей для инвестирования. Лучшим решением будет вклад средств в тот проект, при котором минимальные затраты приведут к максимально возможной прибыли.

Инструмент финансового анализа PI тесно связан с дисконтированной приведенной стоимостью NPV. В первом индексе учитываются вложенные средства в проект, а при помощи второго показателя определяются будущие потенциальные параметры прибыли. Если необходимо сравнить несколько инвестиционных предложений, то, несомненно, PI будет более информативен. NPV позволяет определить, сколько нужно вложить средств, чтобы через определенный временной период получить конкретный доход.

Такой подход основан на одном из экономических законов, регламентирующем убывающую стоимость денег. Одна и та же сумма в настоящем времени представляет больше ценности, чем в будущем периоде, поскольку инвестированные сегодня средства могут впоследствии принести доход. К тому же потенциальная прибыль подвержена обесцениванию ввиду инфляции. Неодинаковая ценность одной и той же денежной суммы в разное время определяется ставкой дисконтирования.

Как определяется индекс рентабельности или доход на единицу затрат

Индекс рентабельности определяется как отношение параметра чистого денежного потока и суммы вклада на момент его оформления.

Инвестиции в формуле идентифицируются как финансовый показатель, а чистый денежный поток определяется как сумма денежных средств, зафиксированная в инвестиционном периоде с учетом полученной прибыли, определенной по ставке дисконта. Если индекс рентабельности инвестиций PI рассчитывается для крупных проектов, то инвестиции могут быть оформлены в разное время их функционирования. В такой ситуации они рассчитываются по среднегодовым показателям.

Значения параметра

Проект считается интересным для инвестора и приемлемым для дальнейшего сотрудничества в случае, если его индекс рентабельности превышает единицу.

Если он равен ей, то деятельность субъекта предпринимательства или его бизнес-план следует анализировать по другим показателям, которые помогут оценить актуальность инвестиционного сотрудничества. Не стоит рассматривать варианты вложения денег в проект в случае, если финансовый показатель меньше значения, принятого за граничное, поскольку это является признаком убыточного проекта.

Схема исследования

Формула расчета индекса

Для актуальной оценки субъекта предпринимательской деятельности как объекта инвестиции, необходимо провести многогранный анализ, чтобы не ошибиться в своем выборе. Стоит учитывать, что привлечение дополнительных средств в действующий проект или в стартап происходит с целью увеличения показателя доходности, планируемого или получаемого с основной деятельности. Поэтому, целесообразным решением будет в расчетах учитывать только такие параметры прибыли. Исследование проекта на его соответствие требованиям к успешному инвестиционному объекту, следует проводить в соответствии с алгоритмом:

  1. Получить информацию о параметрах прибыли компании, получаемой с его основной деятельности.
  2. Провести расчет количества денежных средств, которые можно запустить в оборот без ущерба для основной деятельности субъекта.
  3. Оценить риски.
  4. Определить ставки дисконтирования.
  5. Рассчитать величину будущих доходов, полученных в результате инвестиций.
  6. Проанализировать полученные цифровые значения.
  7. Принять решение об актуальности инвестиции.

Сложности расчетов

Формула индекса рентабельности инвестиций позволяет объективно оценить деятельность компании.

Для этого, финансовый показатель необходимо определять на протяжении определенного периода, в который ставка дисконтирования может меняться ввиду различных причин, которые в момент оформления инвестиции сложно спрогнозировать. Они могут быть обусловлены глобальными факторами фундаментального значения. Чем больше срок инвестирования, тем неопределеннее его результат ввиду множества факторов, которые могут на него оказывать влияние.

Анализ финансового показателя в долгосрочной перспективе может быть ошибочным, поэтому в таком ракурсе нужно учитывать другие индикаторы деятельности, которые бы позволили объективно оценить ситуацию. Для руководителя проекта труднопрогнозируемой может стать оценка инвестиций, которые из потенциальных могут стать фактическими.

Ставка дисконта

Дисконтирование и ставка дисконтирования

Показатель ставки дисконта должен быть учтен при проведении расчетных операций для придания объективности их результатам. При оформлении вклада в проект личными средствами, норма доходности инвестиции будет больше аналогичного показателя, характерного для имеющегося капитала. Поэтому при определении ставки дисконтирования в данной ситуации необходимо учесть, что она должна быть меньше применяемой к действующему капиталу ставки налога, применяемой к полученной прибыли. При инвестировании заемных средств, нижней границы ставки дисконтирования будет применяемая к кредиту ставка, по которой начисляются проценты.

Итоги

Индекс рентабельности позволяет оценить прибыльность проекта и определить факторы риска, которые могут быть актуальными для инвесторов, решивших вложить в бизнес или в покупку ценных бумаг средства. При помощи коэффициента можно определить параметр доходности от инвестиционной деятельности с ориентацией на сумме финансирования.

Индекс позволяет проводить ранжирование по нескольким проектам с целью выявления наиболее перспективного. Проведенный анализ позволяет определить ставку дисконтирования, а при помощи коэффициента можно достоверно рассчитать потенциальную величину денежных потоков, которые могут быть получены в результате инвестиции. С его помощью можно оценить инвестиционные риски. Чем они выше, тем больше прибыльность проекта. Он может быть применен как самостоятельный элемент анализа, так и комплексный.

Facebook

Twitter

Вконтакте

Одноклассники

Google+

Март, четырнадцатое. Как вычислить число Пи

Еще в древности люди заметили, что отношение длины окружности к ее диаметру близко к трем, но не точно три, а чуть больше. Причем это отношение не зависит ни от диаметра окружности, ни от места, где она проведена. В те времена это отношение, названное впоследствии числом Пи, не сильно выделялось из множества других чисел, которые можно определить опытным путем. Таких как отношение диагонали квадрата к его стороне или отношение площадей квадрата и равностороннего треугольника с такой же, как у квадрата, стороной.

Фото: depositphotos

Отцом числа Пи следует считать Архимеда, которого называют автором удивительных открытий, что отношение Пи не приближенно, а в точности связывает не только диаметр и длину окружности, но и площадь круга и квадрат его радиуса, объем шара и куб его радиуса и даже площадь сферы и квадрат ее радиуса. То есть Архимед доказал известные всем со школы формулы: L = 2πr, S1 = πr2, V = 4/3 x πr3 и S2 = 4πr2.

Во время загрузки произошла ошибка.

Архимеду принадлежит также первая не опытная, а теоретическая (методом построения описанных и вписанных в круг многоугольников) оценка числа Пи: 3 + (10/71)

Так Архимед представлял себе вычисление площади круга

Впоследствии математики поняли, что число Пи связывает объем многомерного шара и степень его радиуса при любой размерности пространства (с рациональным множителем, уже зависящим от размерности: для 2х измерений это 1, для 3х измерений — 4/3). Таким образом, число Пи не изменится даже для исследователей, живущих в пространствах с другим числом измерений.

Однако отношение длины окружности к ее диаметру меняется при искривлении пространства и совпадает с нашей константой только в «плоском» однородном случае, проще говоря в пространстве, для которого справедлива теорема Пифагора. Как утверждает теория относительности, рядом с горизонтом событий черной дыры пространство сильно искривлено. Неужели цивилизация, которой повезло возникнуть в подобном месте, может не подозревать о существовании константы Пи?

Оказывается, число Пи неожиданно возникает просто из натурального ряда чисел. Английский математик Джон Валлис, старший современник Исаака Ньютона, открыл удивительную формулу:

Многоточие в конце формулы означает, что если мы перемножим достаточно много четных чисел в числителе и нечетных в знаменателе, то получим результат, сколь угодно близкий к числу Пи /2.

Еще более удивительную для непосвященных формулу с участием числа вывел великий математик Леонард Эйлер, бóльшую часть своей долгой научной карьеры проработавший в Петербургской академии наук:

Эта формула была признана «самой красивой теоремой в математике». Здесь e = 2,71828… — константа Эйлера, i = √-1 — мнимая единица и Пи — конечно, наше число Пи. На самом деле формулаЭйлера эквивалентна сразу двум равенствам:

где n! = 1×2 x 3···(n — 1) x n.

Конечно, затруднительно вычислять Пи из этих формул как корень уравнения бесконечной степени. А уравнения конечной степени с целыми коэффициентами, корнем которого было бы число Пи, не существует! Это доказал в конце XIX века немецкий математик Фердинанд фон Линдеман, решив заодно знаменитую античную проблему «квадратуры круга». То есть он показал, что, имея отрезок, равный диаметру круга, невозможно только с помощью циркуля и линейки построить квадрат, площадь которого равна площади круга.

Другая знаменитая формула Эйлера:

уже пригодна для приближенного вычисления числа Пи. И даже более подходит для этой цели, чем формула великого немецкого философа и математика Готфрида Лейбница:

Впоследствии выяснилось, что эту формулу задолго до Лейбница вывел индийский математик и астроном Мадхава. Формула Лейбница на самом деле является частным случаем формулы разложения арктангенса в ряд Тейлора:

при подстановке x = 1. Долгое время наиболее удобным для вычисления приближений числа Пи считалось равенство английского математика Джона Мэчина, который был секретарем Лондонского королевского общества, когда его возглавлял Исаак Ньютон. Вот это равенство Мэчина:

Для вычисления числа Пи по формуле Мэчина нужно сначала вычислить arctg1/5 и arctg1/239 с помощью приведенного выше разложения арктангенса в ряд Тейлора, которое, по-видимому, впервые нашел сам Исаак Ньютон.

Число возникает в математике в самых неожиданных местах. Например, математик Абрахам де Муавр (бежавший в Англию из Франции, где его преследовали как гугенота) обнаружил формулу:

Теперь ее называют формулой Эйлера-Пуассона, или интегралом Гаусса.

Сам Муавр, а также выдающиеся математики Пьер-Симон де Лаплас и Карл Фридрих Гаусс в разной степени общности и строгости доказали, что функция Φ(x) = e-x2/2/√2 (из формулы Эйлера-Пуассона следует, что интеграл от функции Φ по вещественной прямой равен 1) является плотностью нормального, или гауссова, распределения, которое является предельным для средних арифметических последовательности независимых случайных величин.

Гистограмма близка к графику функции Φ

Это означает, например, если мы будем n серий по m раз подбрасывать монету, вычислять разность между числом выпавших «орлов» и «решек» и записывать результат в таблицу, то при росте n и m построенная по таблице гистограмма будет все больше походить на график функции Φ. Эта теорема служит фундаментом для современной квантовой физики, обеспечивая возможность извлекать из многократных измерений случайных событий строгие закономерности.

Казалось бы, тысячелетняя история исследований позволяет предположить, что мы не упустили ничего важного о числе. Однако в 1997 году, совсем недавно в историческом масштабе, произошла сенсация. Саймон Плафф нашел новое представление для числа в виде ряда:

которое не только требует гораздо меньше слагаемых для вычисления числа с заранее заданной точностью, но и позволяет вычислить любую цифру в двоичном представлении числа Пи, не вычисляя предыдущие цифры.

Владимир Потапов.

Читайте также: Безумие на «Википедии»: 11 статей, которые вас удивят

Математики побили рекорд по вычислению числа «Пи» — Российская газета

Швейцарские исследователи при помощи суперкомпьютера сумели побить мировой рекорд по исчислению знаменитого числа «Пи», обновив значение математической константы до 62,8 триллиона цифр.

Официальное заявление об обновлении мирового рекорда опубликовано на сайте Университета прикладных наук Граубюндена. Швейцарцы вернули себе титул мировых рекордсменов по точности исчисления числа «Пи».

Ранее рекорд также принадлежал местным математикам, но в 2019 и 2020 годах дважды был побит исследователями из США. Чтобы превзойти их достижение, швейцарцы использовали высокопроизводительный компьютер из Центра анализа данных, визуализации и моделирования (DAViS).

Прежний мировой рекорд насчитывал 50 триллионов цифр в значении математической константы. Теперь к ним прибавились еще 12,8 триллиона новых, ранее неизвестных математикам цифр после запятой. Последние десять известных цифр числа «Пи» теперь выглядят так: 7817924264.

В университете отмечают и то, что на вычисление нового значения константы команде DAViS потребовалось 108 дней и 9 часов. Тем самым она побила еще и рекорд по времени исследования. Новое значение было вычислено примерно в 3,5 раза быстрее, чем при установлении предыдущего мирового рекорда.

«Мы хотели достичь нескольких целей с помощью рекордной попытки, — говорит профессор Хайко Рельке, руководитель DAViS. — В ходе подготовки и выполнения расчетов мы смогли создать и обобщить множество ноу-хау и оптимизировать наши процессы. Теперь это приносит пользу нашим партнерам по исследованиям, с которыми мы совместно реализуем проекты, требующие большого объема вычислений в области анализа данных и моделирования».

Новое математическое достижение уже зарегистрировано, в настоящий момент рассматривается заявка о его включении в Книгу рекордов Гиннесса. Кстати, математики пока не раскрыли полное значение константы, а широкой публике презентовали только последние десять цифр. Полностью обновленное число «Пи» станет доступным после того, как достижение будет официально включено в Книгу рекордов Гиннесса.

«Расчет показал, что мы уже готовы к интенсивному использованию данных и вычислительной мощности в исследованиях и разработках, — говорит соавтор работы Томас Келлер. — Расчет также позволил нам осознать слабые места в инфраструктуре, такие как недостаточные резервные мощности».

В своем заявлении команда DAViS также утверждает, что полученный ею опыт вычислений может быть востребован в самых разнообразных сферах применения, например, для анализа РНК, моделирования гидродинамического потока и текстового анализа.

Напомним, число «Пи» — это математическая постоянная, равная отношению длины окружности к ее диаметру. Традиционно оно обозначается буквой греческого алфавита «π». Впервые так это число обозначил британский математик Уильям Джонс в 1706 году, но общепринятым оно стало после работ Леонарда Эйлера в 1737 году.

Пи

 

Нарисуйте круг диаметром (по всей окружности) 1

Тогда длина окружности (по всей окружности) будет 3.14159265… число, известное как Пи

 

Пи (произносится как «пирог») часто пишется с использованием греческого символа π

.

Определение π:

Окружность
разделенная на Диаметр
Окружности.

Длина окружности, деленная на диаметр круга, всегда равна π, независимо от того, насколько большой или маленький круг!

 

Чтобы помочь вам вспомнить, что такое π… просто нарисуйте эту диаграмму.

В поисках Пи самостоятельно

Нарисуйте круг или используйте что-то круглое, например тарелку.

Измерение по краю ( окружность ):


У меня 82 см

Мера по окружности ( диаметр ):


У меня 26 см

Разделить:

82 см / 26 см = 3.1538…

Это довольно близко к π. Может быть, если бы я измерил более точно?

Использование Пи

Мы можем использовать π, чтобы найти Окружность, когда мы знаем Диаметр

Длина окружности = π × диаметр

Пример: Вы идете по кругу диаметром 100 м, сколько вы прошли?

Пройденное расстояние = Окружность

 = π × 100 м

  = 314,159. .. м

 = 314 м (с точностью до м)

Также мы можем использовать π, чтобы найти Диаметр, когда мы знаем Окружность

Диаметр = Окружность / π

Пример: Сэм измерил 94 мм по внешней стороне трубы… каков его диаметр?

Диаметр = Окружность / π

 = 94 мм / π

  = 29,92… мм

 = 30 мм (с точностью до миллиметра)

Радиус

Радиус равен половине диаметра, поэтому мы также можем сказать:

 

Для круга с радиусом из 1

Расстояние на полпути вокруг окружность π = 3,14159265…

Цифры

π примерно равно:

3.14159265358979323846…

Цифры идут беспорядочно.

π было рассчитано с точностью до шестидесяти триллионов знаков после запятой, и все же нет шаблона  до цифр

Приблизительно

Быстрое и простое приближение числа π равно 22/7

22/7 = 3,1428571. ..

Но, как видите, 22/7 — это не совсем правильно . На самом деле π не равно отношению любых двух чисел, что делает его иррациональным числом.

 

Действительно хорошее приближение, лучше, чем 1 часть на 10 миллионов:

355/113 = 3.1415929…
(представьте «113355», косая черта в середине «113/355», затем переверните «355/113»)

Резюме:

22/7 = 3,14 28571…
355/113 = 3.141592 9…
= 3.14159265

Запоминание цифр

Обычно я просто запоминаю «3.14159», но вы также можете посчитать буквы:

«Можно мне сегодня большой контейнер масла»
3 1 4 1 5 9 2 6 5

До 100 знаков после запятой

Вот число π с первыми 100 знаками после запятой:

3. 14159265358979323846264338327950288
4197169399375105820974944592307816 406286270618948615380..

 

Самостоятельное вычисление числа Пи

Существует множество специальных методов, используемых для вычисления π, и вот один из них, который вы можете попробовать сами: он называется Нилакантха ряд (в честь индийского математика, жившего в 1444–1544 годах).

Это продолжается вечно и имеет такую ​​схему:

3 + 4 2×3×4 4 4×5×6 + 4 6×7×8 4 8×9×10 + …

(Обратите внимание на последовательность + и -, а также последовательность чисел под строками.)

Это дает следующие результаты:

Срок Результат (до 12 знаков после запятой)
1 3
2 3.166666666667
3 3. 133333333333
4 3.145238095238
… и т.д.! …

Возьмите калькулятор (или используйте электронную таблицу) и посмотрите, сможете ли вы получить лучшие результаты.

 

День Пи

День числа Пи отмечается 14 марта. Март — 3-й месяц, поэтому он выглядит как 14 марта

 

Новый математический рекорд: какой смысл вычислять число Пи? | Математика

Швейцарские исследователи потратили 108 дней на вычисление числа Пи с новой рекордной точностью 62.8tn цифр.

С помощью компьютера их приближение побило предыдущий мировой рекорд в 50 трлн знаков после запятой и было вычислено в 3,5 раза быстрее. Это впечатляющий и трудоемкий подвиг, который вызывает вопрос: почему?

Пи — это, конечно же, математическая константа, определяемая как отношение длины окружности к ее диаметру. Длина окружности, которую мы изучаем в школе, равна 2πr, где r — радиус окружности.

Это трансцендентное иррациональное число: с бесконечным числом знаков после запятой, которое нельзя представить в виде дроби от двух целых чисел.

С древних вавилонских времен люди пытались приблизить константу, начинающуюся с 3,14159, с разной степенью успеха.

Математик-любитель Уильям Шэнкс, например, в 1873 году вычислил число пи вручную до 707 знаков и умер, веря в это, но спустя десятилетия обнаружилось, что он ошибся в 528-м десятичном знаке.

В 1897 году закон штата Индиана Пи в США почти полностью покончил с суетливыми цепочками десятичных знаков. Законопроект, цель которого претендовала на метод возведения в квадрат круга — что математически невозможно — почти закрепил в законе, что π = 3.2.

Для чего он нужен? Абсолютно все

Ян де Гир, профессор математики и статистики Мельбурнского университета, говорит, что возможность аппроксимировать число Пи с некоторой точностью очень важна, поскольку математическая константа имеет множество различных практических применений.

«Знать число пи в некотором приближении невероятно важно, потому что оно появляется везде, от общей теории относительности Эйнштейна до поправок в вашем GPS и всевозможных инженерных задач, связанных с электроникой», — говорит де Гир.

В математике пи появляется везде. «От этого не убежать», — говорит Дэвид Харви, доцент Университета Нового Южного Уэльса.

Например, решение Базельской задачи — сумма обратных квадратов чисел (1/1 2 + 1/2 2 + 1/3 2 и т. д.) — равно π 2 /6. Константа появляется в тождестве Эйлера, e + 1 = 0, которое было описано как «единственное самое красивое уравнение в истории» (а также фигурировало в эпизоде ​​​​«Симпсонов»).По словам Харви,

Пи также имеет решающее значение для того, что в математике называется преобразованием Фурье. «Когда вы воспроизводите файл MP3 или просматриваете носитель Blu-ray, он постоянно использует преобразование Фурье для сжатия данных».

Анализ Фурье также используется в технологии медицинской визуализации и для разложения компонентов солнечного света на спектральные линии, говорит де Жир.

Но, говорит Харви, есть большая разница между вычислением числа пи до 10 знаков после запятой и приближением его к 62.8tn цифр.

«Я не могу себе представить реального физического приложения, в котором вам понадобилось бы больше 15 знаков после запятой, — говорит он.

Математики подсчитали, что приближение числа пи к 39 цифрам достаточно для большинства космологических расчетов — достаточно точно, чтобы рассчитать окружность наблюдаемой Вселенной с точностью до диаметра одного атома водорода.

Точность 62,8 трлн – в чем смысл?

Учитывая, что даже вычисление числа пи до 1000 цифр является практическим излишеством, зачем беспокоиться о 62.8 трлн знаков после запятой?

Де Жир сравнивает подвиг спортсменов с Олимпийскими играми. «Мировые рекорды: сами по себе они бесполезны, но они устанавливают ориентир, учат нас тому, чего мы можем достичь, и мотивируют других.

«Это бенчмаркинг вычислительного оборудования и программного обеспечения, — говорит он.

Харви соглашается: «Это вычислительная задача — это очень сложная задача, требующая большого количества математических и современных компьютерных наук.

«Есть много других интересных констант в математике: если вы увлекаетесь теорией хаоса, есть константы Фейгенбаума, если вы увлекаетесь аналитической теорией чисел, есть гамма-константа Эйлера.

«Есть много других чисел, которые вы могли бы попытаться вычислить: e, основание натурального логарифма, вы могли бы вычислить квадратный корень из 2. Почему вы вычисляете число «пи»? Вы делаете пи, потому что все остальные делали пи», — говорит он. «Это та самая гора, на которую все решили взобраться».

6 фактов о Пи, которых вы, вероятно, не знали

Сегодня День числа Пи.Знаешь, 14 марта. 14/3 это вроде как 3,14. Возьми? Хорошо, это немного натянуто, потому что 3/14 выглядит как дробь, а не число Пи. Что бы ни. Мы до сих пор называем его Днем числа Пи.

Даже если дата Дня Пи немного странная, число Пи все равно довольно крутое. Вот некоторые вещи, которые вы могли не знать о Пи.

Существует множество приближений числа Пи

Если у вас есть круг, вы можете измерить две вещи: расстояние по периметру круга (окружность) и расстояние по самой широкой части круга (диаметр).Независимо от того, насколько велик ваш круг, отношение длины окружности к диаметру является значением числа Пи. Пи — иррациональное число, его нельзя записать как не бесконечное десятичное число. Это означает, что вам нужно приблизительное значение числа Пи.

Простейшее приближение числа Пи равно 3. Да, мы все знаем, что это неверно, но, по крайней мере, это поможет вам начать, если вы хотите что-то сделать с кругами. В прошлом во многих математических книгах число Пи указывалось как 22/7. Опять же, это всего лишь приближение, но оно лучше, чем значение 3 (на самом деле 22/7 ближе к Пи, чем просто запись 3.14).

Ранняя история математики охватывает множество аппроксимаций значения числа Пи. Наиболее распространенным методом было бы построить многоугольник с множеством сторон и использовать его для вычисления периметра и диаметра в качестве оценки числа Пи. В других культурах были найдены способы записать число Пи в виде бесконечного ряда, но без компьютера это может быть довольно сложно рассчитать очень далеко.

Вы можете вычислить несколько цифр числа Пи

Существует множество методов вычисления числа Пи, но я рассмотрю самый простой для понимания.Он начинается с функции арктангенса. Мы знаем, что арктангенс числа 1 равен π/4, и мы можем использовать это для вычисления числа Pi. Нет, вы не можете просто подключить его к своему калькулятору и получить число Пи — это предполагает, что вы уже знаете число Пи. Вместо этого нам нужно сделать разложение арктангенса в ряд Тейлора.

Основная идея ряда Тейлора заключается в том, что любая функция выглядит как степенной ряд, если вы просто сосредоточитесь на одной части этой функции. Используя это, я могу представить арктангенс некоторого значения (x) в виде бесконечного ряда:

Разложение этой функции относительно точки x = 1 должно быть равно π/4.Это означает, что мы получаем следующее для π: (примечание: фиксированное уравнение от 14. 03.16)

Вот и все. Теперь вы можете просто корпеть над этой формулой столько, сколько захотите, или вы можете поручить это компьютеру. Вот программа, которая вычисляет первые 10 000 терминов в серии (просто нажмите кнопку воспроизведения, чтобы запустить ее):

Контент

Этот контент также можно просмотреть на сайте, с которого он взят.

Видите, для компьютера это не так уж и сложно. Однако вы можете видеть, что даже после 10 000 терминов вычисленное значение все еще отличается от принятого значения.Это не лучший ряд для вычисления числа Пи, но я уже говорил об этом ранее.

Вы можете вычислить Пи с помощью случайных чисел

Это мое любимое занятие в Пи. Вот идея. Сгенерируйте пары случайных чисел от 0 до 1, чтобы создать случайные координаты x, y. Нанесите эти точки на сетку 1 на 1 и рассчитайте их расстояние до начала координат. Некоторые из них будут иметь исходное расстояние меньше 1, а некоторые будут больше 1. Точки с расстоянием меньше единицы находятся «внутри круга» — на самом деле это четверть круга. Итак, подсчитывая точки внутри круга и сравнивая их с общим количеством точек, я получаю оценку площади этого круга, которая должна быть π/4. Вот и все.

Хорошо, вот программа.

Контент

Этот контент также можно просмотреть на сайте, откуда он взят.

Вам стоит поиграть с этим (потому что это весело). Попробуйте изменить количество точек или что-то в этом роде. Я включил оператор «ставка (1000)», чтобы вы могли видеть добавленные баллы. О, запускайте его более одного раза — каждый раз вы получаете другой результат из-за случайной части.

Существует связь между числом Пи и гравитацией

Достаньте свой калькулятор. Используйте 9,8 м/с 2 для местной гравитационной постоянной ( g ). Теперь попробуйте это:

Это очень близко к принятому значению числа Пи — и это не совпадение. Оно происходит от первоначальной версии метра как единицы длины. Один из способов определить счетчик — создать маятник, которому требуется 1 секунда, чтобы совершить одно колебание (или 2 секунды для периода). Если вы помните, существует зависимость между периодом и длиной для маятника (с малой амплитудой колебаний):

Как компьютеры вычисляют цифры числа Пи? » Научная азбука

Компьютеры вычисляют число Пи до триллионов цифр, используя формулы бесконечных рядов, разработанные математиками.

Фильм «Жизнь Пи» вышел в 2012 году. Тогда в фильме была сцена, которая каждый раз меня озадачивала. Это та часть, где Писсин Патель пытается и преуспевает, установить краткую форму своего имени «Пи». Я помню, как думал каждый раз, когда видел это: «Значит, он написал на доске сотни цифр числа

, это просто. Вы просто продолжаете делить 22 на 7 в уме. Я мог бы это сделать!»

Но став старше, я понял, как ошибался. Он не просто делил 22 на 7 в уме.Он запомнил значение

вплоть до сотен цифр (видите, теперь и впечатляют). 22/7 — это просто приблизительное значение для , которое дает точное значение только до двух знаков после запятой (  = 3,14159265……. тогда как 22/7 = 3,1428571……).

Рекомендуемое видео для вас:


Как рассчитать число Пи?

Допустим, у вас есть круг (если нет, просто постройте его). Измерьте его диаметр с помощью весов и его окружность с помощью веревки.Теперь, если вы разделите значение окружности на диаметр, вы, вероятно, получите частное как 3,1415… (приблизительно). Вы также заметите, что разделение никогда не заканчивается. Это значение называется Pi ( ). Если представить это математически,

Длина окружности = 2

r

Диаметр окружности = 2 r

Итак, длина окружности/диаметр = (2

r) / (2 r) =

Длина окружности и диаметр окружности (Фото Предоставлено: Morphart Creation/Shutterstock)

Используемый выше метод измерений основан на том, как его открыли вавилоняне и греки тысячи лет назад.С тех пор было сделано много приближений к значению этого числа.

Однако даже сегодня, когда мы подсчитали около 2,7 трлн цифр числа

, мы далеки от точного значения. В ряде книг используется дробь 22/7 в качестве значения , но даже это просто приближение (на самом деле 22/7 ближе к фактическому значению, чем 3,14).

Почему у нас нет точного значения числа Пи?

Правда в том, что мы не знаем точного значения числа

, потому что это иррациональное число .

Иррациональное число — это число, которое нельзя представить в виде дроби. Цифры после запятой никогда не заканчиваются и не повторяются, т. е. они не появляются в определенной последовательности. Это также причина, по которой 22/7 является лишь приближением для

, а не его реальным значением.

Цифры числа Пи бесконечны (Фото: Марк Радемейкер/Shutterstock)

Теперь, если мы даже не знаем всех цифр числа

, как компьютеры могут вычислить их для нас? В конце концов, компьютеры запрограммированы самими людьми, верно?

Ответ на этот вопрос: да, компьютеры программируются людьми.Но нам нужно точно понять, как работают компьютеры, чтобы понять этот ответ.

Как работают компьютеры?

Компьютеры в основном работают по алгоритму . Компьютер — это просто машина. И машина не принимает решения сама по себе, как это делаем мы. Он работает в соответствии с набором инструкций или шагов, которые мы в него вводим. И он следует этим наборам инструкций до тех пор, пока мы не скажем ему остановиться. Конечно, он не сможет остановиться сам по себе, поскольку не имеет возможности принять такое решение.

Также помните, что

— это число с бесконечным числом десятичных разрядов. Это означает, что если мы хотим рассчитать ценность использования компьютера, ему придется следовать набору инструкций бесконечное количество раз, поскольку цифры продолжаются вечно.

Итак, это означает, что если каким-то образом мы сможем вычислить этот набор инструкций, которые генерируют точное значение

, если оно вычисляется бесконечное количество раз, тогда компьютер может выполнить все вычисления самостоятельно. И он будет продолжать вычисления, пока мы не дадим команду остановиться.

Каков алгоритм нашего расчета?

В нашем случае этот набор операций называется бесконечным рядом. Бесконечный ряд — это бесконечная последовательность значений, которые во всем подчиняются определенному правилу.

Например, у нас есть серия-

1/2, 1/4, 1/8…….

Каждый член здесь умножается на половину предыдущего члена.

Если мы сложим их,

Это называется бесконечным рядом. Вкратце это можно записать с помощью символа «сигма»: –

В этом случае сложение всех членов S равно 1.Если вы не понимаете, как это может быть 1, вот иллюстрация доказательства:

Доказательство суммы ряда (Фото: Peter Hermes Furian/Shutterstock)

Теперь, если мы сможем найти бесконечное такой ряд, что значение ‘S’ в приведенном выше уравнении равно pi, мы нашли алгоритм для генерации значения pi. После этого все, что нам нужно сделать, это ввести этот алгоритм в компьютер.

Сегодня существует множество рядов, которые используются для получения значения числа Пи. Одним из самых известных и простых рядов для вычисления

является ряд Грегори-Лейбница:

С помощью этого ряда вы сможете точно вычислить

/4. Тогда, если вы умножите это на 4, вы получите значение . Единственная проблема этой серии в том, что она не очень эффективна. Вам придется добавить много терминов, если вы хотите получить точное значение (около 300 терминов, чтобы вычислить до 2 знаков после запятой). Это очень трудоемкая работа, даже для компьютера.

Другой ряд, который более эффективен, чем приведенный выше, — это ряд Нилаканта: —

Это лишь некоторые из самых простых формул, которые можно использовать для вычисления

. Существуют и другие, более эффективные ряды, разработанные математиками, которые можно использовать для вычисления этого значения с помощью компьютеров, например, алгоритм Брента и Саламина.

Представьте себе чрезвычайно эффективную бесконечную серию и сверхбыстрый компьютер. Вот как сегодня вычисляется значение

до триллионов цифр. Мировой рекорд по вычислению наибольшего количества цифр принадлежит Тимоти Малликэну. Он вычислил 50 триллионов цифр на своем персональном компьютере (по состоянию на 30 января 2020 года).

Мы, безусловно, добились большого прогресса: от вычисления этого значения вручную до использования сверхмедленных компьютеров в 1950-х годах (которые на самом деле были самыми эффективными компьютерами того времени) и до сегодняшнего дня, когда компьютеры могут вычислить

всего за секунды.

Пи в небе: Вычисление рекордного числа 31.4 триллиона цифр константы Архимеда в Google Cloud

Мы добились этого успеха с помощью y-cruncher, программы Pi-benchmark, разработанной Александром Йи, с использованием кластера виртуальных машин Google Compute Engine. 31,4 триллиона цифр — это почти на 9 триллионов цифр больше, чем предыдущий мировой рекорд, установленный в ноябре 2016 года Питером Труэбом. Йи независимо проверил расчет, используя формулу Белларда и формулу BBP. Вот последние 97 цифр результата.

6394399712 5311093996 9814355656 9814355656 1840037499 357346092

1433955296 8972122477 157772122477 1577728930 8427323262 4739940

Вы можете прочитать подробную информацию об этой записи с точки зрения Y-Cruncher в отчете Йи.

Постоянная гонка

Конечно, большинству научных приложений не требуется число π, превышающее несколько сотен цифр, но это никого не останавливает; начиная с 2009 года инженеры использовали специализированные персональные компьютеры для вычисления триллионов цифр числа π. На самом деле, гонка за вычисление большего числа π цифр в последнее время только ускорилась: ученые-компьютерщики используют ее для тестирования суперкомпьютеров, а математики — для соперничества друг с другом.

Однако сложность формулы Чудновского — распространенного алгоритма вычисления π — равна O ( n  (log n ) 3 ).С точки зрения непрофессионала, это означает, что время и ресурсы, необходимые для вычисления цифр, увеличиваются быстрее, чем сами цифры. Кроме того, становится все труднее пережить потенциальный сбой или сбой оборудования по мере продолжения вычислений.

Для расчета числа π мы решили использовать облако. Использование Compute Engine, высокопроизводительной инфраструктуры Google Cloud в качестве услуги, имеет ряд преимуществ по сравнению с использованием выделенных физических компьютеров. Во-первых, функция динамической миграции Compute Engine позволяет вашему приложению продолжать работать, пока Google берет на себя всю тяжелую работу, необходимую для поддержания нашей инфраструктуры в актуальном состоянии.Мы запустили 25 узлов в течение 111,8 дней, или 2795 машино-дней (7,6 машино-лет), за это время Google Cloud выполнил тысячи живых миграций без перерыва и без влияния на процесс вычислений.

Запуск в облаке также позволяет нам полностью публиковать вычисленные цифры в виде снимков диска. Менее чем за час и всего за 40 долларов в день вы можете скопировать моментальные снимки, обработать результаты и избавиться от вычислительных ресурсов. До появления облака единственным возможным способом распространения такого большого набора данных была поставка физических жестких дисков.

Общие преимущества работы в облаке: доступность широкого выбора оборудования, включая новейшие процессоры Intel Skylake с поддержкой AVX-512. Вы можете масштабировать свои экземпляры вверх и вниз по запросу и убивать, когда вы закончите с ними, заплатив только за то, что вы использовали.

Вот дополнительные сведения о программе:

Долгий поиск значения числа Пи

Число, представленное числом Пи (π), используется в вычислениях всякий раз, когда речь идет о чем-то круглом (или почти таком), например, для кругов, сферы, цилиндры, конусы и эллипсы.Его значение необходимо для вычисления многих важных величин, связанных с этими формами, таких как понимание взаимосвязи между радиусом круга, его окружностью и площадью (окружность = 2πr; площадь = πr 2 ).

Пи также появляется в расчетах по определению площади эллипса и при нахождении радиуса, площади поверхности и объема сферы.

В нашем мире много круглых и почти круглых объектов; нахождение точного значения числа пи помогает нам строить, производить и работать с ними более точно.

Исторически сложилось так, что у людей были только очень грубые оценки числа пи (такие как 3, или 3,12, или 3,16), и хотя они знали, что это оценки, они понятия не имели, насколько далеки они могут быть.

Поиск точного значения числа пи привел не только к большей точности, но и к разработке новых концепций и методов, таких как пределы и итерационные алгоритмы, которые затем стали фундаментальными для новых областей математики.

Нахождение фактического значения числа пи

Между 3000 и 4000 лет назад люди методом проб и ошибок вычисляли число пи, не занимаясь математикой и не учитывая возможные ошибки.Самые ранние письменные приближения числа пи – 3,125 в Вавилоне (1900–1600 г. до н. э.) и 3,1605 в Древнем Египте (1650 г. до н. э.). Оба приближения начинаются с 3,1 — довольно близко к фактическому значению, но все же относительно далеко.

Первый строгий подход к нахождению истинного значения числа пи был основан на геометрических приближениях. Около 250 г. до н.э. греческий математик Архимед нарисовал многоугольники как снаружи, так и внутри кругов. Измерение их периметров дало верхнюю и нижнюю границы диапазона, содержащего число пи.Он начал с шестиугольников; используя многоугольники со все большим и большим количеством сторон, он в конечном итоге вычислил три точных цифры числа пи: 3,14. Около 150 г. н.э. греко-римский ученый Птолемей использовал этот метод для вычисления значения 3,1416.

Примерно в 265 году нашей эры китайский математик Лю Хуэй создал еще один простой итерационный алгоритм на основе полигонов. Он предложил очень быстрый и эффективный метод аппроксимации, который давал четыре точных цифры. Позже, примерно в 480 году нашей эры, Цзу Чунчжи перенял метод Лю Хуэя и добился семизначной точности.Этот рекорд держался еще 800 лет.

В 1630 году австрийский астроном Кристоф Гринбергер пришел к 38 цифрам, что является наиболее точным приближением, достигнутым вручную с помощью полигональных алгоритмов.

Выход за пределы полигонов

Развитие методов бесконечных рядов в 16-м и 17-м веках значительно расширило возможности людей более эффективно аппроксимировать число Пи. Бесконечный ряд — это сумма (или, что гораздо реже, произведение) членов бесконечной последовательности, например ½, ¼, 1/8, 1/16, … 1/(2n).Первое письменное описание бесконечного ряда, которое можно использовать для вычисления числа пи, было изложено в стихах на санскрите индийским астрономом Нилакантхой Сомаяджи около 1500 г. н.э., доказательство которого было представлено около 1530 г. н.э.

В 1665 году английский математик и физик Исаак Ньютон использовал бесконечные ряды для вычисления пи до 15 цифр, используя исчисление, открытое им и немецким математиком Готфридом Вильгельмом Лейбницем. После этого рекорд продолжал побиваться. Он достиг 71 цифры в 1699 году, 100 цифр в 1706 году и 620 цифр в 1956 году — наилучшее приближение, достигнутое без помощи калькулятора или компьютера.

Параллельно с этими вычислениями математики исследовали и другие характеристики числа пи. Швейцарский математик Иоганн Генрих Ламберт (1728–1777) первым доказал, что число пи — иррациональное число, состоящее из бесконечного числа цифр, которые никогда не входят в повторяющийся узор. В 1882 году немецкий математик Фердинанд фон Линдеманн доказал, что число пи не может быть выражено в рациональном алгебраическом уравнении (например, pi²=10 или 9pi4 - 240pi2 + 1492 = 0).

На пути к еще большему числу пи

Всплески вычислений еще большего количества цифр числа пи последовали за внедрением итерационных алгоритмов, которые многократно строят обновленное значение, используя вычисление, выполненное для предыдущего значения.Простой пример итеративного алгоритма позволяет вам аппроксимировать квадратный корень из 2 следующим образом, используя формулу (x+2/x)/2:

.
  • (2+2/2)/2 = 1,5
  • ( 1,5 +2/ 1,5 )/2 = 1,4167
  • ( 1,4167 +2/ 1,4167 )/2 = 1,4142, что уже является очень близким приближением.

Продвижение к большему количеству цифр числа пи произошло с использованием алгоритма типа Мачина (обобщение формулы английского математика Джона Мачина, разработанной в 1706 году) и алгоритма Гаусса-Лежандра (конец 18 века) в электронных компьютерах (изобретен в середине 20 века). век).В 1946 году ENIAC, первый электронный компьютер общего назначения, вычислил 2037 цифр числа Пи за 70 часов. Самый последний расчет выявил более 13 триллионов цифр числа пи за 208 дней!

Широко признано, что для большинства числовых расчетов с числом пи дюжина цифр обеспечивает достаточную точность. По словам математиков Йорга Арндта и Кристофа Хенеля, 39 цифр достаточно для выполнения большинства космологических вычислений, потому что это точность, необходимая для вычисления окружности наблюдаемой Вселенной с точностью до диаметра одного атома.После этого большее количество цифр числа пи не имеет практического применения в вычислениях; скорее, сегодняшняя погоня за большим количеством цифр числа пи связана с тестированием суперкомпьютеров и алгоритмов численного анализа.

Вычисление пи самостоятельно

Есть также забавные и простые методы для оценки значения числа Пи. Одним из самых известных является метод под названием «Монте-Карло».

Метод достаточно прост. Чтобы попробовать это дома, нарисуйте на листе бумаги круг и квадрат вокруг него (как слева).Представьте, что стороны квадрата имеют длину 2, поэтому его площадь равна 4; следовательно, диаметр круга равен 2, а его площадь равна пи. Отношение между их площадями равно пи/4, или примерно 0,7854.

Теперь возьмите ручку, закройте глаза и наугад расставьте точки на квадрате. Если вы сделаете это достаточное количество раз и ваши усилия будут действительно случайными, в конечном итоге процент попаданий вашей точки внутри круга приблизится к 78,54%, или 0,7854.

Теперь вы вступили в ряды математиков, которые веками вычисляли число Пи.

Xiaojing Ye не работает, не консультирует, не владеет акциями и не получает финансирование от какой-либо компании или организации, которые могли бы извлечь выгоду из этой статьи, и не раскрыла никаких соответствующих связей, кроме указанной выше академической должности.

Первоначально эта статья была опубликована на The Conversation. Прочитайте оригинальную статью.

Швейцарский университет утверждает, что побил рекорд по вычислению числа Пи

Большинство людей знает значение числа Пи как 3,1416, но с годами оно становится все длиннее и длиннее, поскольку исследователи пытаются найти его наиболее точное вычисление.Команда из Университета прикладных наук Граубюндена в Швейцарии теперь утверждает, что побила мировой рекорд по вычислению математической константы: они вычислили 62,8 триллиона цифр числа Пи. Нынешний рекордсмен Тимоти Малликан вычислил до 50 триллионов цифр и получил признание за свою работу в прошлом году.

По данным швейцарского университета, его команде потребовалось 108 дней и 9 часов, чтобы вычислить новое значение. Это в 3,5 раза быстрее, чем усилия Малликана, и почти в два раза быстрее, чем рекорд Google, установленный в 2019 году.Пару лет назад Эмма Харука Ивао и ее коллеги использовали мощность 25 виртуальных машин Google Cloud для вычисления 31 415 926 535 897 цифр числа Пи за 121 день.

Швейцарская команда, как поясняет The Register , использовала установку на базе двух 32-ядерных процессоров AMD Epyc 7542 с 1 ТБ оперативной памяти и программу под названием y-Cruncher. В его установке было 38 жестких дисков по 16 ТБ каждый, 34 из которых использовались для процесса, а четыре использовались для хранения нового значения числа Пи.Команда не использовала твердотельные накопители, хотя их скорость ускорила бы процесс, потому что большое количество циклов записи, необходимых для вычисления Pi, привело бы к сильному износу твердотельных накопителей, которые недешевы. Это бы не сработало, так как университет хотел продемонстрировать, что можно выполнить чрезвычайно интенсивный расчет памяти с ограниченным бюджетом и ресурсами. Гиннессу еще предстоит подтвердить новый рекорд, но после этого университет планирует опубликовать новое и расширенное значение числа Пи.

Все продукты, рекомендованные Engadget, выбираются нашей редакционной группой независимо от нашей материнской компании.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.