Кардинальность — это… Что такое Кардинальность?
Мощность множества или кардинальное число множества — это обобщение понятия количества (числа элементов множества), которое имеет смысл для всех множеств, включая бесконечные.
Существуют бо́льшие, есть ме́ньшие бесконечные множества, среди них счётное множество является самым маленьким.
Определение
Два множества называются равномощными, если между ними существует биекция. Существование биекции между множествами есть отношение эквивалентности, а мощность множества — это соответствующий ему класс эквивалентности.
Пример
Множество чётных целых чисел имеет такую же мощность, что и множество целых чисел . Определим так: . f — биекция, поэтому
Свойства
- Два конечных множества равномощны тогда и только тогда, когда они состоят из одинакового числа элементов. То есть для конечного множества понятие мощности совпадает с привычным понятием количества.
- Для бесконечных множеств мощность множества может совпадать с мощностью его собственного подмножества, например .
- Теорема Кантора гарантирует существование более мощного множества для любого данного: Множество всех подмножеств множества A мощнее A, или | 2A | > | A | .
- С помощью канторова квадрата можно также доказать следующее полезное утверждение: Декартово произведение бесконечного множества A с самим собой равномощно A.
- Мощность декартова произведения:
- Формула Грассмана:
Связанные определения
Следуя Кантору, мощность множества называется кардинальным числом, и обозначается мощность такого множества A через | A | (сам Кантор использовал обозначение ). Иногда встречается обозначение .
Мощность множества натуральных чисел обозначается символом («алеф-нуль»). Множество называется бесконечным, если его мощность , таким образом, счётные множества — это «самые маленькие» из бесконечных множеств. Следующие кардинальные числа в порядке возрастания обозначаются .
Про множества, равномощные множеству всех вещественных чисел, говорят, что они имеют мощность континуума, и мощность таких множеств обозначается символом c. Континуум-гипотеза утверждает, что .
Для мощностей, как и в случае конечных множеств, имеются понятия: равенство, больше, меньше. То есть для любых множеств A и B возможно только одно из трёх:
- | A | = | B | или A и B равномощны;
- | A | > | B | или A мощнее B, т. е. A содержит подмножество, равномощное B, но A и B не равномощны;
- | A | < | B | или B мощнее A, в этом случае B содержит подмножество, равномощное A, но A и B не равномощны.
Ситуация, в которой A и B не равномощны и ни в одном из них нет части, равномощной другому, невозможна. Это следует из теоремы Цермело. Иначе это означало бы существование несравнимых между собой мощностей (что в принципе возможно, если не принимать аксиому выбора).
Ситуация, в которой | A | > | B | и | A | < | B | , невозможна по теореме Кантора — Бернштейна.
Литература
Wikimedia Foundation. 2010.
dic.academic.ru
кардинальность — это… Что такое кардинальность?
- кардинальность
.
- КАРДИНАЛ 2
- КАРДИНАЛЬНЫЙ
Смотреть что такое «кардинальность» в других словарях:
кардинальность — существенность, важность, центральность, радикальность Словарь русских синонимов. кардинальность сущ., кол во синонимов: 4 • важность (86) • … Словарь синонимов
Кардинальность — Мощность множества или кардинальное число множества это обобщение понятия количества (числа элементов множества), которое имеет смысл для всех множеств, включая бесконечные. Существуют большие, есть меньшие бесконечные множества, среди них… … Википедия
кардинальность — кардин альность, и … Русский орфографический словарь
кардинальность — см. кардинальный; и; ж. Кардина/льность решений, выводов … Словарь многих выражений
важность — Вес, значение, достоинство, превосходство, предпочтение, преимущество, преобладание, ценность. Эка(я) важность! Велико дело! Велика вещь возить или пахать? Крыл. Легко сказать; шутка ли сказать! .. Ср. достоинство … Словарь синонимов
радикальность
существенность — важность, значительность, немаловажность, значимость, эпохальность, судьбоносность; сущность; значение, немелочность, положительность, принципиальное значение, важное значение, первостепенное значение, субстанциальность, необходимость,… … Словарь синонимов
центральность — кардинальность Словарь русских синонимов. центральность сущ., кол во синонимов: 1 • кардинальность (4) Словарь синонимов ASIS … Словарь синонимов
КАРДИНАЛЬНЫЙ — КАРДИНАЛЬНЫЙ, ая, ое; лен, льна (книжн.). Самый важный, существенный, основной. К. вопрос. | сущ. кардинальность, и, жен. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова
1 (число) — У этого термина существуют и другие значения, см. 1 (значения). 1 один 2 · 1 · 0 · 1 · 2 · 3 · 4 Факторизация: единица Римская запись: I Двоичное: 1 Восьмеричное: 1 Шестнадцатеричное … Википедия
dic.academic.ru
кардинальность — это… Что такое кардинальность?
- кардинальность
- cardinality, cardinal property
Русско-английский словарь математических терминов. — Американское математическое общество. Э.Д. Лоувотер. 1990.
- карданов
- кардинальный
Смотреть что такое «кардинальность» в других словарях:
кардинальность — существенность, важность, центральность, радикальность Словарь русских синонимов. кардинальность сущ., кол во синонимов: 4 • важность (86) • … Словарь синонимов
кардинальность — КАРДИНАЛЬНЫЙ, ая, ое; лен, льна (книжн.). Самый важный, существенный, основной. К. вопрос. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова
Кардинальность — Мощность множества или кардинальное число множества это обобщение понятия количества (числа элементов множества), которое имеет смысл для всех множеств, включая бесконечные. Существуют большие, есть меньшие бесконечные множества, среди них… … Википедия
кардинальность — кардин альность, и … Русский орфографический словарь
кардинальность — см. кардинальный; и; ж. Кардина/льность решений, выводов … Словарь многих выражений
важность — Вес, значение, достоинство, превосходство, предпочтение, преимущество, преобладание, ценность. Эка(я) важность! Велико дело! Велика вещь возить или пахать? Крыл. Легко сказать; шутка ли сказать! .. Ср. достоинство … Словарь синонимов
радикальность — действенность, кардинальность, решительность. Ant. нерешительность Словарь русских синонимов. радикальность сущ. • решительность Словарь русских синонимов. Контекст 5.0 Информатик. 2012 … Словарь синонимов
существенность — важность, значительность, немаловажность, значимость, эпохальность, судьбоносность; сущность; значение, немелочность, положительность, принципиальное значение, важное значение, первостепенное значение, субстанциальность, необходимость,… … Словарь синонимов
центральность — кардинальность Словарь русских синонимов. центральность сущ., кол во синонимов: 1 • кардинальность (4) Словарь синонимов ASIS … Словарь синонимов
КАРДИНАЛЬНЫЙ — КАРДИНАЛЬНЫЙ, ая, ое; лен, льна (книжн.). Самый важный, существенный, основной. К. вопрос. | сущ. кардинальность, и, жен. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова
1 (число) — У этого термина существуют и другие значения, см. 1 (значения). 1 один 2 · 1 · 0 · 1 · 2 · 3 · 4 Факторизация: единица Римская запись: I Двоичное: 1 Восьмеричное: 1 Шестнадцатеричное … Википедия
dic.academic.ru
КАРДИНАЛЬНЫЙ — это… Что такое КАРДИНАЛЬНЫЙ?
КАРДИНАЛЬНЫЙ — (лат.). Основной, главный. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. КАРДИНАЛЬНЫЙ [лат. cardinalis главный] самый важный, главный, существенный. Словарь иностранных слов. Комлев Н.Г., 2006 … Словарь иностранных слов русского языка
кардинальный — См … Словарь синонимов
КАРДИНАЛЬНЫЙ — (латинское cardinalis), основной, главнейший, важнейший … Современная энциклопедия
КАРДИНАЛЬНЫЙ — (лат. cardinalis) основной, главнейший, важнейший … Большой Энциклопедический словарь
Кардинальный — главный. Ср. Мечтательность есть кардинальная черта всѣхъ трехъ произведеній, которыя волновали русскаго человѣка … С. А. Венгеровъ. Критико біогр. Словарь. 4, 1, 3. Ср. Cardinalis, главный. Ср. Cardo (главная суть, отъ чего все зависитъ, какъ… … Большой толково-фразеологический словарь Михельсона (оригинальная орфография)
КАРДИНАЛЬНЫЙ — КАРДИНАЛЬНЫЙ, ая, ое; лен, льна (книжн.). Самый важный, существенный, основной. К. вопрос. | сущ. кардинальность, и, жен. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова
Кардинальный — (лат. U) основной, главнейший, важнейший. Политическая наука: Словарь справочник. сост. проф пол наук Санжаревский И.И.. 2010 … Политология. Словарь.
кардинальный — ая, ое. cardinal, e adj. <лат. cardinalis. Главнейший, основной, самый важный. Вчерашний день Его Величество находился в великой опасности, ибо высыпавшая оспа стала было внутрь выходить, но только частично, однако способом кардинальных… … Исторический словарь галлицизмов русского языка
Кардинальный — (латинское cardinalis), основной, главнейший, важнейший. … Иллюстрированный энциклопедический словарь
кардинальный — ая, ое; лен, льна, льно. [от лат. cardinalis главный] Главный, самый существенный. К. вопрос. К ые изменения. ◁ Кардинально, нареч. К. решить вопрос. К. переработать главу диссертации. Кардинальность, и; ж. К. решений, выводов. * * * кардинальный … Энциклопедический словарь
dic.academic.ru
КАРДИНАЛЬНЫЙ — это… Что такое КАРДИНАЛЬНЫЙ?
КАРДИНАЛЬНЫЙ — (лат.). Основной, главный. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. КАРДИНАЛЬНЫЙ [лат. cardinalis главный] самый важный, главный, существенный. Словарь иностранных слов. Комлев Н.Г., 2006 … Словарь иностранных слов русского языка
кардинальный — См … Словарь синонимов
КАРДИНАЛЬНЫЙ — КАРДИНАЛЬНЫЙ, кардинальная, кардинальное (лат. cardinalis) (книжн.). Главнейший, важнейший. Кардинальный вопрос. Кардинальное нововведение. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 … Толковый словарь Ушакова
КАРДИНАЛЬНЫЙ — (лат. cardinalis) основной, главнейший, важнейший … Большой Энциклопедический словарь
Кардинальный — главный. Ср. Мечтательность есть кардинальная черта всѣхъ трехъ произведеній, которыя волновали русскаго человѣка … С. А. Венгеровъ. Критико біогр. Словарь. 4, 1, 3. Ср. Cardinalis, главный. Ср. Cardo (главная суть, отъ чего все зависитъ, какъ… … Большой толково-фразеологический словарь Михельсона (оригинальная орфография)
КАРДИНАЛЬНЫЙ — КАРДИНАЛЬНЫЙ, ая, ое; лен, льна (книжн.). Самый важный, существенный, основной. К. вопрос. | сущ. кардинальность, и, жен. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова
Кардинальный — (лат. U) основной, главнейший, важнейший. Политическая наука: Словарь справочник. сост. проф пол наук Санжаревский И.И.. 2010 … Политология. Словарь.
кардинальный — ая, ое. cardinal, e adj. <лат. cardinalis. Главнейший, основной, самый важный. Вчерашний день Его Величество находился в великой опасности, ибо высыпавшая оспа стала было внутрь выходить, но только частично, однако способом кардинальных… … Исторический словарь галлицизмов русского языка
Кардинальный — (латинское cardinalis), основной, главнейший, важнейший. … Иллюстрированный энциклопедический словарь
кардинальный — ая, ое; лен, льна, льно. [от лат. cardinalis главный] Главный, самый существенный. К. вопрос. К ые изменения. ◁ Кардинально, нареч. К. решить вопрос. К. переработать главу диссертации. Кардинальность, и; ж. К. решений, выводов. * * * кардинальный … Энциклопедический словарь
dic.academic.ru
кардинальность — это… Что такое кардинальность?
- кардинальность
- кардинальность
существенность, важность, центральность, радикальность
Словарь русских синонимов.
- кардинальность
сущ., кол-во синонимов: 4
Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин. 2013.
.
- кардинально
- кардинальный
Смотреть что такое «кардинальность» в других словарях:
кардинальность — КАРДИНАЛЬНЫЙ, ая, ое; лен, льна (книжн.). Самый важный, существенный, основной. К. вопрос. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова
Кардинальность — Мощность множества или кардинальное число множества это обобщение понятия количества (числа элементов множества), которое имеет смысл для всех множеств, включая бесконечные. Существуют большие, есть меньшие бесконечные множества, среди них… … Википедия
кардинальность — кардин альность, и … Русский орфографический словарь
кардинальность — см. кардинальный; и; ж. Кардина/льность решений, выводов … Словарь многих выражений
важность — Вес, значение, достоинство, превосходство, предпочтение, преимущество, преобладание, ценность. Эка(я) важность! Велико дело! Велика вещь возить или пахать? Крыл. Легко сказать; шутка ли сказать! .. Ср. достоинство … Словарь синонимов
радикальность — действенность, кардинальность, решительность. Ant. нерешительность Словарь русских синонимов. радикальность сущ. • решительность Словарь русских синонимов. Контекст 5.0 Информатик. 2012 … Словарь синонимов
существенность — важность, значительность, немаловажность, значимость, эпохальность, судьбоносность; сущность; значение, немелочность, положительность, принципиальное значение, важное значение, первостепенное значение, субстанциальность, необходимость,… … Словарь синонимов
центральность — кардинальность Словарь русских синонимов. центральность сущ., кол во синонимов: 1 • кардинальность (4) Словарь синонимов ASIS … Словарь синонимов
КАРДИНАЛЬНЫЙ — КАРДИНАЛЬНЫЙ, ая, ое; лен, льна (книжн.). Самый важный, существенный, основной. К. вопрос. | сущ. кардинальность, и, жен. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова
1 (число) — У этого термина существуют и другие значения, см. 1 (значения). 1 один 2 · 1 · 0 · 1 · 2 · 3 · 4 Факторизация: единица Римская запись: I Двоичное: 1 Восьмеричное: 1 Шестнадцатеричное … Википедия
dic.academic.ru
КАРДИНАЛЬНЫЙ — это… Что такое КАРДИНАЛЬНЫЙ?
КАРДИНАЛЬНЫЙ — (лат.). Основной, главный. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. КАРДИНАЛЬНЫЙ [лат. cardinalis главный] самый важный, главный, существенный. Словарь иностранных слов. Комлев Н.Г., 2006 … Словарь иностранных слов русского языка
кардинальный — См … Словарь синонимов
КАРДИНАЛЬНЫЙ — КАРДИНАЛЬНЫЙ, кардинальная, кардинальное (лат. cardinalis) (книжн.). Главнейший, важнейший. Кардинальный вопрос. Кардинальное нововведение. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 … Толковый словарь Ушакова
КАРДИНАЛЬНЫЙ — (латинское cardinalis), основной, главнейший, важнейший … Современная энциклопедия
КАРДИНАЛЬНЫЙ — (лат. cardinalis) основной, главнейший, важнейший … Большой Энциклопедический словарь
Кардинальный — главный. Ср. Мечтательность есть кардинальная черта всѣхъ трехъ произведеній, которыя волновали русскаго человѣка … С. А. Венгеровъ. Критико біогр. Словарь. 4, 1, 3. Ср. Cardinalis, главный. Ср. Cardo (главная суть, отъ чего все зависитъ, какъ… … Большой толково-фразеологический словарь Михельсона (оригинальная орфография)
Кардинальный — (лат. U) основной, главнейший, важнейший. Политическая наука: Словарь справочник. сост. проф пол наук Санжаревский И.И.. 2010 … Политология. Словарь.
кардинальный — ая, ое. cardinal, e adj. <лат. cardinalis. Главнейший, основной, самый важный. Вчерашний день Его Величество находился в великой опасности, ибо высыпавшая оспа стала было внутрь выходить, но только частично, однако способом кардинальных… … Исторический словарь галлицизмов русского языка
Кардинальный — (латинское cardinalis), основной, главнейший, важнейший. … Иллюстрированный энциклопедический словарь
кардинальный — ая, ое; лен, льна, льно. [от лат. cardinalis главный] Главный, самый существенный. К. вопрос. К ые изменения. ◁ Кардинально, нареч. К. решить вопрос. К. переработать главу диссертации. Кардинальность, и; ж. К. решений, выводов. * * * кардинальный … Энциклопедический словарь
dic.academic.ru