Аннуитет это денежный поток – какая формула отражает понятие стоимости

Аннуитет

Аннуитет – финансовая рента – это разновидность финансовых потоков, которые поступают в ступенчатой форме, т.е. одинаковыми частями в фиксированные временные промежутки.

 

Подобные платежи могут использоваться как при выплате накопившихся процентов по депозитам, сертификатам, облигациям и прочим отчислениям, так и для погашения действующей задолженности. Главным здесь остается тот нюанс, что аннуитет – это совокупность одинаковых финансовых потоков, выплачиваемых через равные временные интервалы (год, квартал или месяц).

 

Аннуитетный платеж, выплачиваемый заемщиком, включает основной долг (или тело кредита) и вознаграждение (или проценты).

 

 

Аннуитетом может быть названа не только сумма периодического платежа заемщика, но и собственно финансовый инструмент или график его погашения.

 

Также к понятию «аннуитет» относится:

 

• Вид государственного займа на определенный срок с выплатой процентов и тела кредита.
• Договор, заключенный со страховой компанией, в котором человек вправе рассчитывать на равные по временному интервалу выплаты, например, при выходе на пенсию.
• Страховые выплаты, которые носят регулярный по времени характер.

 

График аннуитетных платежей может использоваться не только для расчёта выплат по кредитным займам. Также его применяют для вычисления суммы, которую необходимо накопить к определенному времени в будущем.

 

 

Виды аннуитета

 

Ввиду многогранности аннуитетных платежей, они имеют сложную классификацию:

 

1. 1. В зависимости от времени выплаты стартового взноса:

 

• Постнумерандо – это ситуация, когда платеж проходит после завершения первого периода.
• Пренумерандо – это ситуация, когда средства поступают до начала периода.

 

2. 2. В зависимости от сроков действия:

 

1. 2.1. Срочный.
2. 2.2. Пожизненный, который также делится на следующие разновидности:

 

• Аннуитеты, передаваемые по наследству.
• Платежи, действительные с корректировкой денежных поступлений.
• Гарантированные на заранее установленный срок.

 

3. 3. Страховая практика богата на аннуитеты, которые существенно отличаются между собой по характеру. Выделяют следующие виды:

 

• Простые – действительны после одноразововой оплаты премии застрахованным лицом. Если наступает страховой случай – имеют пожизненный статус.
• Отложенные – предусматривают временной промежуток (между подписанным договором и страховыми выплатами), когда лицо должно внести размер предусмотренных для аннуитета премий.
• Срочный – подписание подобного договора действует строго фиксированный промежуток времени. В этом виде аннуитета смерть лица считается единственным фактором, досрочно прерывающим рентные платежи.
• Гарантированный – этот тип платежа не прерывается даже тогда, если застрахованный клиент умер. В подобной ситуации на весь оставшийся период право использовать аннуитет перейдет к наследникам.
• С защитой личных финансов (капитала) – подобный договор закрепляет за застрахованным лицом (наследниками) получить весь размер предусмотренной премии.

 

4. 4. В зависимости от величины платежа и влияния на него инфляции:

 

• Фиксированный – предполагает равность по сумме всех платежей.
• Валютный – в котором сумма платежа привязана к валюте с целью защиты от инфляционных процессов в стране.
• Индексируемый – сумма платежа которого правится на индекс инфляции для каждого интервала выплат.
• Переменный – предполагает привязку суммы выплат к индексу доходности финансового инструмента.

 

5. 5. В зависимости от частоты производимых выплат:

 

• Ежемесячный.
• Ежеквартальный.
• Ежегодный.

 

6. 6. По срочности аннуитетных выплат:

 

• Срочный – фиксированное количество выплат.
• С возможностью погашения досрочно.
• Бессрочные выплаты (например, аннуитетные платежи пенсионерам).
• Без фиксированного количества платежей.

 

7. 7. В зависимости от плательщика:

 

• Страховой аннуитет (платежи страховой компании).
• Пенсионный аннуитет (платежи пенсионного фонда).
• Финансовый аннуитет (платежи финансовыми организациями и банками).
• Аннуитетные платежи юридическими лицами.
• Аннуитетные платежи частными лицами.

 

Особенности аннуитетной схемы

 

Если клиент выбирает этот способ выплаты, то на него распространяются следующие правила:

 

• Долг выплачивается равными долями. Это правило может распространяться как на простые, так и на залоговые займы.
• Размер всех выплат четко отражен в графике и на протяжении всего срока не может быть изменен (первый и последний взносы будут одинаковы).

 

 

Преимущество подобного расчета с банком заключается в постоянстве ежемесячной суммы взносов и простоте оформления кредита (банки активно поддерживают подобную схему расчета). Такой подход позволяет легко планировать и вносить корректировки в семейный бюджет. Однако, есть в аннуитетной схеме и недостатки. Основной из них состоит в том, что клиент переплачивает гораздо больше, нежели при использовании дифференцированного метода.

 

Аннуитетная схема будет удобна лицам, берущим небольшой кредит на непродолжительный период или же получающим фиксированный размер заработной платы, который заранее удобно просчитать.

 

Чем дольше кредитный период, тем невыгодней становится аннуитетный способ погашения долга. Также не стоит забывать, что далеко не все банки разрешают погашать кредит досрочно. Этот факт каждый заемщик должен обязательно проверить.

 

Формула расчета ежемесячного аннуитетного платежа

 

Для того чтобы высчитать размер ежемесячных платежей (А), пользователю необходимо величину коэффициента аннуитета (К) умножить на общую сумму кредита (S). Предполагается, что платежи производятся в конце месяца.

 

А = К × S

 

Коэффициент аннуитета позволяет просчитать размер периодически одинаковых платежей, которые пользователь обязан платить банку каждый месяц. Его необходимо высчитывать по отдельной формуле:

 

К = i ×(1 + i)ⁿ / (1 + i)ⁿ – 1, где

 

n – это число месяцев, на которые пользователь взял кредит,

i – размер процентной месячной ставки.

 

 

Расчет стоимости аннуитетных платежей в будущем предполагает, что платежи производятся на вклад, который приносит выгоду владельцу. Если целью расчетов аннуитетных платежей (FV) выступает вычисление их будущей стоимости, то применяется формула:

 

FV_an = (X × (1 + r)ⁿ – 1) / r, где

 

r – ставка процентов за один период,

n – периодичность выплат (число периодов),

Х – аннуитетный платеж.

 

 

utmagazine.ru

Понятие и будущая стоимость аннуитета

Под аннуитетом понимают возникающий через равные промежутки времени поток равных сумм денежных средств.

С понятием аннуитета приходится сталкиваться довольно часто, хотя, как показывает практика, большинство людей даже не догадывается о его значении.

Примерами аннуитета

являются РАВНЫЕ по размеру [1] ежемесячные платежи по кредиту, договорам аренды и лизинга, [2] ежегодные взносы в страховые накопительные программы, [3] ежемесячные начисления по депозитам по правилам простых процентов и т.п.

Скажем, если в конце каждого года вы получаете доход от одной конкретной инвестиции в размере 1000 долл. в течение 10 лет, значит, вы имеете дело с аннуитетом.

Практическая ценность данного понятия заключается в том, что оно позволяет анализировать ПОТОКИ денежных средств, причем, главным образом, с точки зрения определения его будущей стоимости.

Расчет будущей стоимости аннуитета

О будущей стоимости инвестиций мы уже говорили на страницах нашего сайта. Формула, с которой нам приходилось иметь дело, выглядела так:

S_n = N*(1+k/100)ⁿ, где

S_n – будущая стоимость инвестиции,

N – размер первоначального капитала (инвестиции),

k – ставка процента,

n – количество периодов, в течение которых происходит наращение стоимости.

Эта формула применима, например, для расчета размера вашего вклада через какой-то промежуток времени, с учетом концепции сложных процентов.

Данная формула имеет один «недостаток». Она не позволяет рассчитать стоимость наших инвестиций в будущем при наличии так называемых дополнительных вложений в один и тот же финансовый инструмент.

Например, положив на сберегательный счет 1000 долл. под 7% годовых, вкладчик рассчитывает ежегодно пополнять свой счет на ту же 1000 долл.

Чтобы рассчитать, какая сумма средств окажется на его счете через 3 года, потребуются довольно-таки громоздкие вычисления.

Естественно, для этого существует своя формула, которая, правда, вряд ли существенно облегчит нам жизнь:

S_n = N*(1+k/100)ⁿ+m*[(1+k/100)^n-1+…+(1+k/100)+1].

По сравнению с предыдущей формулой здесь добавлен новый параметр

m, который обозначает размер периодического платежа.

Подставляя в эту формулу интересующие нас значения, получим следующее:

S_n = 1000*(1+7/100)³+1000*[(1+7/100)²+(1+7/100)¹+1] = 1000*(1,07³+1,07²+1,07+1) = 4440 долл.

Таблица расчета будущей стоимости аннуитета

Естественно, подобные вышеприведенным вычисления удобнее и быстрее производить с помощью вычислительной техники, специальных программ или финансовых таблиц.

Пример одной из таких таблиц представлен ниже:

Таблица составлена в программе Excel. Значения в таблице являются коэффициентами для 1 долл. (значения округлены).

В частности, по истечению 3-го периода (года) при 7-процентной ставке и ежегодном пополнении вклада в размере 1 долл. общий размер вклада составит 4,440 долл.

Если бы первоначальная сумма вклада и ежегодного дополнительного взноса составляли 1000 долл., то для расчета будущей стоимости вклада нужно было бы его первоначальный размер умножить на соответствующий коэффициент из таблицы (1000 долл. * 4,440 = 4440 долл.).

Неудобство таблиц в том, что они не отличаются универсальностью: при изменении первоначальных условий по размеру периодического взноса потребуется заново пересчитывать всю таблицу.

Эта проблема надежно решается лишь с помощью вычислительных программ (в частности, инвестиционных калькуляторов).

Аннуитет: заключение

Статья разъясняет содержание и смысл понятия аннуитета, а также предлагает метод расчета будущей стоимости аннуитета.

Аннуитет — это любой поток равнозначных сумм денежных средств.

С аннуитетом приходится сталкиваться часто, хотя мало кто отдает себе в этом отчет…

Расчет будущей стоимости аннуитета можно производить вручную, с помощью специальных таблиц либо посредством использования инвестиционных калькуляторов.

sprintinvest.ru

Денежные потоки в виде серии равных платежей аннуитеты

Денежные потоки в виде серии равных платежей (аннуитеты)

И.Я. Лукасевич

Поток платежей, все элементы которого распределены во времени так, что интервалы между любыми двумя последовательными платежами постоянны, называют финансовой рентой или аннуитетом (annuity).

Теоретически, в зависимости от условий формирования, могут быть получены весьма разнообразные виды аннуитетов: с платежами равной либо произвольной величины; с осуществлением выплат в начале, середине или конце периода и др. [13, 16]

В финансовой практике часто встречаются так называемые простые или обыкновенные аннуитеты (ordinary annuity, regular annuity), которые предполагают получение или выплаты одинаковых по величине сумм на протяжении всего срока операции в конце каждого периода (года, полугодия, квартала, месяца и.т.д.).

Выплаты по облигациям с фиксированной ставкой купона, банковским кредитам, долгосрочной аренде, страховым полисам, формирование различных фондов – все это далеко неполный перечень финансовых операций, денежные потоки которых, представляют собой обыкновенные аннуитеты. Рассмотрим их свойства и основные количественные характеристики.

Согласно определению, простой аннуитет обладает двумя важными свойствами:

1) все его n-элементов равны между собой: CF1 = CF2 …= CFn = CF ;

отрезки времени между выплатой/получением сумм CF одинаковы, т.е. tn — tn-1 = …= t2 — t1.

В отличии от разовых платежей, для количественного анализа аннуитетов нам понадобятся все выделенные ранее характеристики денежных потоков: FV, PV, CF, r и n.

Будущая стоимость простого (обыкновенного) аннуитета

Будущая стоимость простого аннуитета представляет собой сумму всех составляющих его платежей с начисленными процентами на конец срока проведения операции.

Методику определения будущей стоимости аннуитета покажем на следующем примере.

Пример 1.10

Финансовая компания создает фонд для погашения своих облигаций путем ежегодных помещений в банк сумм в 10000 под 10% годовых. Какова будет величина фонда к концу 4-го года?

FV4 = 10000(1+0,10)3+10000(1+0,10)2+10000(1+0,10)1+10000 = 46410.

Для n-периодов:

. (1.10)

Выполнив ряд математических преобразований над (1.10), можно получить более компактную запись:

. (1.11)

Как уже отмечалось ранее, платежи могут осуществляться j-раз в году (ежемесячно, ежеквартально и т.д.). Рассмотрим наиболее распространенный случай, когда число платежей в году совпадает с числом начислений процентов, т.е. j = m. В этом случае общее число платежей за n-лет будет равно mn, процентная ставка – r/m, а величина платежа – CF/m. Тогда, выполнив преобразования над (1.11), получим:

. (1.12)

Пример 1.11

Предположим, что каждый год ежемесячно в банк помещается сумма в 1000. Ставка равна 12% годовых, начисляемых в конце каждого месяца. Какова будет величина вклада к концу 4-го года ?

Общее количество платежей за 4 года равно: 4ґ 12 = 48. Ежемесячная процентная ставка составит: 12 / 12 = 1%. Тогда:

.

Процентная ставка, равная отношению номинальной ставки r к количеству периодов начисления m, называется периодической.

Следует отметить, что периодическая ставка процентов может использоваться в вычислениях только в том случае, если число платежей в году равно числу начислений процентов.

Текущая (современная) стоимость простого аннуитета

Под текущей величиной (стоимостью) денежного потока понимают сумму всех составляющих его платежей, дисконтированных на момент начала операции.

Определение текущей стоимости денежного потока, представляющего собой простой аннуитет, покажем на следующем примере.

Пример 1.12

Предположим, что мы хотим получать доход, равный 1000 в год, на протяжении 4-х лет. Какая сумма обеспечит получение такого дохода, если ставка по срочным депозитам равна 10% годовых?

PV = 1000/l,10 + 1000/(l,10)2 + 1000/(l,10)3 + 1000/(l,10)4 = 3169,87.

Общее соотношение для определения текущей величины аннуитета имеет следующий вид:

. (1.13)

Нетрудно заметить, что выражения в квадратных скобках в (1.13) представляет собой множитель, равный современной стоимости аннуитета в 1 денежную единицу. Разделив современную стоимость PV денежного потока любого вида на этот множитель, можно получить величину периодического платежа CF эквивалентного ему аннуитета. Эта математическая зависимость часто используется в финансовом анализе для приведения потоков с неравномерными поступлениями к виду обыкновенного аннуитета.

Для случая, когда выплаты сумм аннуитета и начисления процентов совпадают во времени, т.е. j = m, удобно использовать соотношение вида:

. (1.14)

Исчисление суммы платежа, процентной ставки и числа периодов

Величину периодического платежа CF и числа периодов проведения операции n для обыкновенного аннуитета можно определить как из соотношения (1.9), так и (1.11).

Если известна будущая стоимость FV, при заданных n и r величина платежа может быть найдена из (1.11):

. (1.15)

При этом выражение в квадратных скобках часто называют коэффициентом погашения или накопления (sinking fund factor).

Соответственно если неизвестной величиной является n, она определяется по формуле:

. (1.16) В случае, если известна текущая стоимость аннуитета PV, формулы для определения CF и n примут следующий вид:

. (1.17)

. (1.18) Выражение в квадратных скобках в (1.17) называют коэффициентом восстановления или возмещения капитала (capital recovery factor).

Исчисление процентной ставки для денежных потоков в виде серии платежей представляет определенные сложности. Используемые при этом итерационные методы обеспечивают получение лишь приближенной оценки и не рассматриваются в настоящей работе. Как будет показано в дальнейшем, современные табличные процессоры позволяют без особых затруднений определять этот важнейший параметр любой финансовой операции. Автоматизация исчисления характеристик аннуитетов

Группу функций EXCEL, предназначенную для автоматизации расчетов характеристик аннуитетов, составляют уже хорошо известные вам функции БЗ(), КПЕР(), НОРМА(), ПЗ() (см. табл. 1.1), к которым добавляется функция определения периодического платежа – ППЛАТ().

Функция ППЛАТ(ставка; кпер; нз; [бс]; [тип])

Данная функция применяется в том случае, если необходимо определить величину периодического платежа – CF.

Предположим, что в примере 1.11 требуется определить размер периодического платежа при заданной будущей величине фонда в 46410.

=ППЛАТ(0,1; 4; 0; 46410) (Результат: -10000,00).

Для банка, в котором размещен данный депозит, периодические платежи означают приток средств, а конечная сумма по депозиту – расход:

=ППЛАТ(0,1; 4; 0; -46410) (Результат: 10000,00).

Обратите особое внимание на значение параметра «нз» (PV). Условиями данной операции наличие первоначальной суммы на депозите в момент времени t = 0 не предусмотрено, поэтому значение параметра «нз» равно нулю. Изменим условия примера 1.10 следующим образом.

Пример 1.13

Финансовая компания создает фонд для погашения обязательств путем помещения в банк суммы в 50000, с последующим ежегодным пополнением суммами по 10000. Ставка по депозиту равна 10% годовых. Какова будет величина фонда к концу 4-го года ?

=БЗ(0,1; 4; -10000; -50000) (Результат: 119615,00).

Соответственно изменится и формат функции для определения величины ежегодного платежа:

=ППЛАТ(0,1; 4; -50000; 119615) (Результат: -10000,00).

В случае, если условиями контракта предусмотрено начисление процентов в начале каждого периода, при исчислении любой характеристики финансовой операции необходимо задавать аргумент “тип”, равный 1.

Для предыдущего примера, функции вычисления будущей величины и периодического платежа будут иметь следующий вид:

=БЗ(0,1; 4; -10000; -50000; 1) (Результат: 124256,00).

=ППЛАТ(0,1; 4; -50000; 124256; 1) (Результат: -10000,00).

Отметим, что начисление процентов в начале каждого периода всегда приводит к большему значению будущей величины аннуитета за тот же срок.

При начислении процентов m-раз в году, величины r и n корректируются также, как и в предыдущих примерах.

Попробуйте самостоятельно построить шаблон для определения количественных характеристик денежных потоков, представляющих собой простой аннуитет. Его можно получить путем несложных преобразований предыдущего шаблона, воспользовавшись командами редактирования ППП EXCEL.

На рис. 1.7 приведен один из простейших вариантов подобного шаблона, который может быть взят за основу. Формулы шаблона приведены в табл. 1.3.

Таблица 1.3

Формула шаблона (аннуитеты)

Ячейка	Формула
В15	=БЗ(B5/B6;B7*B6;B10;B8;B11)
В16	=НОРМА(B7*B6;B10;B8;B9;B11)
В17	=B16*B6
B18	=КПЕР(B5/B6;B10;B8;B9;B11)
В19	=ПЗ(B5/B6;B7*B6;B10;B9;B11)
В20	=ППЛАТ(B5/B6;B7*B6;B8;B9;B11)

Рис. 1.7. Шаблон для анализа аннуитетов

Сохраните разработанный вами шаблон на магнитном диске под именем ANNUI_AN.XLT.

Проверим работоспособность шаблона на решении следующих типовых задач.

Пример 1.14

Корпорация планирует ежегодно в течении 10 лет делать отчисления по 5000 для создания фонда выкупа своих облигаций. Средства помещаются в банк под 12% годовых. Какая сумма будет накоплена к концу срока операции?

Введем в ячейки колонки В необходимые исходные данные. Полученная в итоге таблица будет иметь следующий вид (рис. 1.8).

Рис. 1.8. Решение примера 1.14

Величина фонда погашения к концу срока проведения операции составит 87743,68 при начислении процентов в конце каждого периода и 98272,92 при начислении процентов в начале каждого периода (осуществите проверку этого расчета самостоятельно!).

В случае если при решении задач требуется одновременный анализ нескольких альтернатив, скопируйте в соседние колонки необходимое количество раз блок ячеек, содержащий формулы.

Список литературы

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.cfin.ru/

coolreferat.com