Что такое кардинальность: Кардинальность — это… Что такое Кардинальность?

Кардинальность — это… Что такое Кардинальность?

Мощность множества или кардинальное число множества — это обобщение понятия количества (числа элементов множества), которое имеет смысл для всех множеств, включая бесконечные.

Существуют бо́льшие, есть ме́ньшие бесконечные множества, среди них счётное множество является самым маленьким.

Определение

Два множества называются равномощными, если между ними существует биекция. Существование биекции между множествами есть отношение эквивалентности, а мощность множества — это соответствующий ему класс эквивалентности.

Пример

Множество чётных целых чисел имеет такую же мощность, что и множество целых чисел . Определим

Свойства

• Два конечных множества равномощны тогда и только тогда, когда они состоят из одинакового числа элементов. То есть для конечного множества понятие мощности совпадает с привычным понятием количества.
• Для бесконечных множеств мощность множества может совпадать с мощностью его собственного подмножества, например .
• Теорема Кантора гарантирует существование более мощного множества для любого данного: Множество всех подмножеств множества A мощнее
  A, или | 2^A | > | A | .
• С помощью канторова квадрата можно также доказать следующее полезное утверждение: Декартово произведение бесконечного множества A с самим собой равномощно A.
• Мощность декартова произведения:

  

• Формула Грассмана:

  

Связанные определения

Следуя Кантору, мощность множества называется кардинальным числом, и обозначается мощность такого множества A через | A | (сам Кантор использовал обозначение ). Иногда встречается обозначение

Мощность множества натуральных чисел обозначается символом («алеф-нуль»). Множество называется бесконечным, если его мощность , таким образом, счётные множества — это «самые маленькие» из бесконечных множеств. Следующие кардинальные числа в порядке возрастания обозначаются .

Про множества, равномощные множеству всех вещественных чисел, говорят, что они имеют мощность континуума, и мощность таких множеств обозначается символом

Для мощностей, как и в случае конечных множеств, имеются понятия: равенство, больше, меньше. То есть для любых множеств A и B возможно только одно из трёх:

1. | A | = | B | или A и B равномощны;
2. | A | > | B | или A мощнее B, т. е. A содержит подмножество, равномощное B, но A и B не равномощны;
3. | A | < | B | или B мощнее A, в этом случае B содержит подмножество, равномощное A, но A и B не равномощны.

Ситуация, в которой A и B не равномощны и ни в одном из них нет части, равномощной другому, невозможна. Это следует из теоремы Цермело. Иначе это означало бы существование несравнимых между собой мощностей (что в принципе возможно, если не принимать аксиому выбора).

Ситуация, в которой | A | > | B | и | A | < | B | , невозможна по теореме Кантора — Бернштейна.

Литература

Wikimedia Foundation. 2010.

кардинальность — это… Что такое кардинальность?

кардинальность

.

• КАРДИНАЛ 2
• КАРДИНАЛЬНЫЙ

Смотреть что такое «кардинальность» в других словарях:

• кардинальность — существенность, важность, центральность, радикальность Словарь русских синонимов. кардинальность сущ., кол во синонимов: 4 • важность (86) • …   Словарь синонимов

• Кардинальность — Мощность множества или кардинальное число множества это обобщение понятия количества (числа элементов множества), которое имеет смысл для всех множеств, включая бесконечные. Существуют большие, есть меньшие бесконечные множества, среди них… …   Википедия

• кардинальность — кардин альность, и …   Русский орфографический словарь

• кардинальность — см. кардинальный; и; ж. Кардина/льность решений, выводов …   Словарь многих выражений

• важность — Вес, значение, достоинство, превосходство, предпочтение, преимущество, преобладание, ценность. Эка(я) важность! Велико дело! Велика вещь возить или пахать? Крыл. Легко сказать; шутка ли сказать! .. Ср. достоинство …   Словарь синонимов

• радикальность — действенность, кардинальность, решительность. Ant. нерешительность Словарь русских синонимов. радикальность сущ. • решительность Словарь русских синонимов. Контекст 5.0 Информатик. 2012 …   Словарь синонимов

• существенность — важность, значительность, немаловажность, значимость, эпохальность, судьбоносность; сущность; значение, немелочность, положительность, принципиальное значение, важное значение, первостепенное значение, субстанциальность, необходимость,… …   Словарь синонимов

• центральность — кардинальность Словарь русских синонимов. центральность сущ., кол во синонимов: 1 • кардинальность (4) Словарь синонимов ASIS …   Словарь синонимов

• КАРДИНАЛЬНЫЙ — КАРДИНАЛЬНЫЙ, ая, ое; лен, льна (книжн.). Самый важный, существенный, основной. К. вопрос. | сущ. кардинальность, и, жен. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 …   Толковый словарь Ожегова

• 1 (число) — У этого термина существуют и другие значения, см. 1 (значения). 1 один 2 · 1 · 0 · 1 · 2 · 3 · 4 Факторизация: единица Римская запись: I Двоичное: 1 Восьмеричное: 1 Шестнадцатеричное …   Википедия

кардинальность — это… Что такое кардинальность?

кардинальность

Кардина́льность решений, выводов.

Словарь многих выражений. 2014.

• кардинально
• кардинальный

Смотреть что такое «кардинальность» в других словарях:

• кардинальность — существенность, важность, центральность, радикальность Словарь русских синонимов. кардинальность сущ., кол во синонимов: 4 • важность (86) • …   Словарь синонимов

• кардинальность — КАРДИНАЛЬНЫЙ, ая, ое; лен, льна (книжн.). Самый важный, существенный, основной. К. вопрос. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 …   Толковый словарь Ожегова

• Кардинальность

  — Мощность множества или кардинальное число множества это обобщение понятия количества (числа элементов множества), которое имеет смысл для всех множеств, включая бесконечные. Существуют большие, есть меньшие бесконечные множества, среди них… …   Википедия

• кардинальность — кардин альность, и …   Русский орфографический словарь

• важность — Вес, значение, достоинство, превосходство, предпочтение, преимущество, преобладание, ценность. Эка(я) важность! Велико дело! Велика вещь возить или пахать? Крыл. Легко сказать; шутка ли сказать! .. Ср. достоинство …   Словарь синонимов

• радикальность — действенность, кардинальность, решительность. Ant. нерешительность Словарь русских синонимов. радикальность сущ. • решительность Словарь русских синонимов. Контекст 5.0 Информатик. 2012 …   Словарь синонимов

• существенность — важность, значительность, немаловажность, значимость, эпохальность, судьбоносность; сущность; значение, немелочность, положительность, принципиальное значение, важное значение, первостепенное значение, субстанциальность, необходимость,… …   Словарь синонимов

• центральность — кардинальность Словарь русских синонимов. центральность сущ., кол во синонимов: 1 • кардинальность (4) Словарь синонимов ASIS …   Словарь синонимов

• КАРДИНАЛЬНЫЙ — КАРДИНАЛЬНЫЙ, ая, ое; лен, льна (книжн.). Самый важный, существенный, основной. К. вопрос. | сущ. кардинальность, и, жен. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 …   Толковый словарь Ожегова

• 1 (число) — У этого термина существуют и другие значения, см. 1 (значения). 1 один 2 · 1 · 0 · 1 · 2 · 3 · 4 Факторизация: единица Римская запись: I Двоичное: 1 Восьмеричное: 1 Шестнадцатеричное …   Википедия

Кардинальность Википедия

Мо́щность мно́жества

В основе этого понятия лежат естественные представления о сравнении множеств:

1. Любые два множества, между элементами которых может быть установлено взаимно-однозначное соответствие (биекция), содержат одинаковое количество элементов (имеют одинаковую мощность, равномощны).
2. Обратно: равномощные множества должны допускать такое взаимно-однозначное соответствие.
3. Часть множества не превосходит полного множества по мощности (то есть по количеству элементов).

До построения теории мощности множеств множества различались по признакам: пустое/непустое и конечное/бесконечное, также конечные множества различались по количеству элементов. Бесконечные же множества нельзя было сравнить.

Мощность множеств позволяет сравнивать бесконечные множества. Например, счётные множества являются самыми «маленькими» бесконечными множествами.

Мощность множества A {\displaystyle A} обозначается через | A | {\displaystyle |A|} . Иногда встречаются обозначения A ¯ ¯ {\displaystyle {\overline {\overline {A}}}} , # A {\displaystyle \#A} и c a r d ( A ) {\displaystyle \mathrm {card} (A)} .

Определение

При соблюдении аксиомы выбора мощность множества формально определяется как наименьшее порядковое число α {\displaystyle \alpha } , при котором между X {\displaystyle X} и α {\displaystyle \alpha } можно установить биективное соответствие. Данное определение также называется распределением кардинальных чисел по фон Нейману. Если мы не принимаем аксиому выбора, требуется иной подход. Самое первое определение мощности множества X {\displaystyle X} (оно неявно присутствует в работах Кантора и явным образом сформулировано у Фреге, а также в Principia Mathematica) представляет собой класс [ X ] {\displaystyle [X]} всех множеств, равномощных X {\displaystyle X} . В аксиоматических системах, основанных на теории ZFC, такое определение неприменимо, поскольку при непустом X {\displaystyle X} такая совокупность слишком велика, чтобы подходить под определение множества. Точнее, если X ≠ ∅ {\displaystyle X\neq \varnothing } , то существует инъективное отображение универсального множества в [ X ] {\displaystyle [X]} , при котором каждое множество m {\displaystyle m} переходит в { m } × X {\displaystyle \{m\}\times X} , откуда, в силу аксиомы ограничения размера следует, что [ X ] {\displaystyle [X]}  — собственный класс. Данное определение можно использовать в теории типов и «новых основаниях»^[en], а также в связанных с ними аксиоматических системах. В случае ZFC определение можно использовать, если ограничить коллекцию [ X ] {\displaystyle [X]} равномощными множествами с наименьшим рангом (этот приём, предложенный Даной Скоттом, работает благодаря тому, что совокупность объектов, обладающих заданным рангом, является множеством).

Формальный порядок среди кардинальных чисел вводится следующим образом: | X | ≤ | Y | {\displaystyle |X|\leq |Y|} означает, что множество X {\displaystyle X} можно инъективно отобразить на Y {\displaystyle Y} . Согласно теореме Кантора — Бернштейна, из пары неравенств | X | ≤ | Y | {\displaystyle |X|\leq |Y|} и | Y | ≤ | X | {\displaystyle |Y|\leq |X|} следует, что | X | = | Y | {\displaystyle |X|=|Y|} . Аксиома выбора эквивалентна утверждению о том, что для любых множеств X {\displaystyle X} и Y {\displaystyle Y} выполняется, по крайней мере, одно из неравенств | X | ≤ | Y | {\displaystyle |X|\leq |Y|} или | Y | ≤ | X | {\displaystyle |Y|\leq |X|} .

Множество X {\displaystyle X} называется бесконечным по Дедекинду^[en], если в нём существует такое собственное подмножество Y {\displaystyle Y} , что | X | = | Y | {\displaystyle |X|=|Y|} . В противном случае множество называется конечным по Дедекинду. Конечные кардинальные числа совпадают с обычными натуральными числами — иначе говоря, множество X {\displaystyle X} конечно тогда и только тогда, когда | X | = | n | = n {\displaystyle |X|=|n|=n} при некотором натуральном n {\displaystyle n} . Все остальные множества бесконечны. При соблюдении аксиомы выбора можно доказать, что определения по Дедекинду совпадают со стандартными. Кроме того, можно доказать, что мощность множества натуральных чисел ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} (алеф-нуль, или алеф-0 — название образовано от первой буквы еврейского алфавита ℵ {\displaystyle \aleph } ) представляет собой наименьшее бесконечно большое кардинальное число, то есть в любом бесконечном множестве есть подмножество мощности ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} . Следующее по порядку кардинальное число обозначается ℵ 1 {\displaystyle \aleph _{1}} и так далее, число алефов бесконечно. Любому порядковому числу α {\displaystyle \alpha } соответствует кардинальное число ℵ α {\displaystyle \aleph _{\alpha }} , причём таким образом можно описать любое бесконечно большое кардинальное число.

Связанные определения

• Мощность множества натуральных чисел N {\displaystyle {\mathbb {N} }} обозначается символом ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} («алеф-нуль»). Множество называется бесконечным, если его мощность ⩾ ℵ 0 {\displaystyle \geqslant \aleph _{0}} (не меньше мощности множества натуральных чисел), таким образом, счётные множества — это «самые маленькие» из бесконечных множеств. Следующие кардинальные числа в порядке возрастания обозначаются ℵ 1 , ℵ 2 , … ℵ ω , ℵ ω + 1 , … ℵ ω 1 , … {\displaystyle \aleph _{1},\aleph _{2},\dots \aleph _{\omega },\aleph _{\omega +1},\dots \aleph _{\omega _{1}},\dots } (где индекс пробегает все порядковые числа). Среди кардинальных чисел нет наибольшего: для любого множества кардинальных чисел существует кардинальное число, большее всех элементов этого множества.

• Для мощностей, как и в случае конечных множеств, имеются понятия: «равенство», «больше», «меньше». То есть для любых множеств A {\displaystyle A} и B {\displaystyle B} возможно только одно из трёх:
  1. | A | = | B | {\displaystyle |A|=|B|} , или A {\displaystyle A} и B {\displaystyle B} равномощны;
  2. | A | > | B | {\displaystyle |A|>|B|} , или A {\displaystyle A} мощнее B {\displaystyle B} , то есть A {\displaystyle A} содержит подмножество, равномощное B {\displaystyle B} , но A {\displaystyle A} и B {\displaystyle B} не равномощны;
  3. | A | < | B | {\displaystyle |A|<|B|} , или B {\displaystyle B} мощнее A {\displaystyle A}  — в этом случае B {\displaystyle B} содержит подмножество, равномощное A {\displaystyle A} , но A {\displaystyle A} и B {\displaystyle B} не равномощны.
  • Ситуация, в которой A {\displaystyle A} и B {\displaystyle B} не равномощны и ни в одном из них нет части, равномощной другому, невозможна. Это следует из теоремы Цермело. Иначе это означало бы существование несравнимых между собой мощностей (что в принципе возможно, если не принимать аксиому выбора).
  • Ситуация, в которой | A | > | B | {\displaystyle |A|>|B|} и | A | < | B | {\displaystyle |A|<|B|} , невозможна по теореме Кантора — Бернштейна.

кардинальность — это… Что такое кардинальность?

кардинальность

кардинальность

существенность, важность, центральность, радикальность

Словарь русских синонимов.

кардинальность

сущ., кол-во синонимов: 4

Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин. 2013.

.

• кардинально
• кардинальный

Смотреть что такое «кардинальность» в других словарях:

• кардинальность — КАРДИНАЛЬНЫЙ, ая, ое; лен, льна (книжн.). Самый важный, существенный, основной. К. вопрос. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 …   Толковый словарь Ожегова

• Кардинальность — Мощность множества или кардинальное число множества это обобщение понятия количества (числа элементов множества), которое имеет смысл для всех множеств, включая бесконечные. Существуют большие, есть меньшие бесконечные множества, среди них… …   Википедия

• кардинальность — кардин альность, и …   Русский орфографический словарь

• кардинальность — см. кардинальный; и; ж. Кардина/льность решений, выводов …   Словарь многих выражений

• важность — Вес, значение, достоинство, превосходство, предпочтение, преимущество, преобладание, ценность. Эка(я) важность! Велико дело! Велика вещь возить или пахать? Крыл. Легко сказать; шутка ли сказать! .. Ср. достоинство …   Словарь синонимов

• радикальность — действенность, кардинальность, решительность. Ant. нерешительность Словарь русских синонимов. радикальность сущ. • решительность Словарь русских синонимов. Контекст 5.0 Информатик. 2012 …   Словарь синонимов

• существенность — важность, значительность, немаловажность, значимость, эпохальность, судьбоносность; сущность; значение, немелочность, положительность, принципиальное значение, важное значение, первостепенное значение, субстанциальность, необходимость,… …   Словарь синонимов

• центральность — кардинальность Словарь русских синонимов. центральность сущ., кол во синонимов: 1 • кардинальность (4) Словарь синонимов ASIS …   Словарь синонимов

• КАРДИНАЛЬНЫЙ — КАРДИНАЛЬНЫЙ, ая, ое; лен, льна (книжн.). Самый важный, существенный, основной. К. вопрос. | сущ. кардинальность, и, жен. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 …   Толковый словарь Ожегова

• 1 (число) — У этого термина существуют и другие значения, см. 1 (значения). 1 один 2 · 1 · 0 · 1 · 2 · 3 · 4 Факторизация: единица Римская запись: I Двоичное: 1 Восьмеричное: 1 Шестнадцатеричное …   Википедия

кардинальность — это… Что такое кардинальность?

кардинальность

cardinality, cardinal property

Русско-английский словарь математических терминов. — Американское математическое общество. Э.Д. Лоувотер. 1990.

• карданов
• кардинальный

Смотреть что такое «кардинальность» в других словарях:

• кардинальность — существенность, важность, центральность, радикальность Словарь русских синонимов. кардинальность сущ., кол во синонимов: 4 • важность (86) • …   Словарь синонимов

• кардинальность — КАРДИНАЛЬНЫЙ, ая, ое; лен, льна (книжн.). Самый важный, существенный, основной. К. вопрос. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 …   Толковый словарь Ожегова

• Кардинальность — Мощность множества или кардинальное число множества это обобщение понятия количества (числа элементов множества), которое имеет смысл для всех множеств, включая бесконечные. Существуют большие, есть меньшие бесконечные множества, среди них… …   Википедия

• кардинальность — кардин альность, и …   Русский орфографический словарь

• кардинальность — см. кардинальный; и; ж. Кардина/льность решений, выводов …   Словарь многих выражений

• важность — Вес, значение, достоинство, превосходство, предпочтение, преимущество, преобладание, ценность. Эка(я) важность! Велико дело! Велика вещь возить или пахать? Крыл. Легко сказать; шутка ли сказать! .. Ср. достоинство …   Словарь синонимов

• радикальность — действенность, кардинальность, решительность. Ant. нерешительность Словарь русских синонимов. радикальность сущ. • решительность Словарь русских синонимов. Контекст 5.0 Информатик. 2012 …   Словарь синонимов

• существенность — важность, значительность, немаловажность, значимость, эпохальность, судьбоносность; сущность; значение, немелочность, положительность, принципиальное значение, важное значение, первостепенное значение, субстанциальность, необходимость,… …   Словарь синонимов

• центральность — кардинальность Словарь русских синонимов. центральность сущ., кол во синонимов: 1 • кардинальность (4) Словарь синонимов ASIS …   Словарь синонимов

• КАРДИНАЛЬНЫЙ — КАРДИНАЛЬНЫЙ, ая, ое; лен, льна (книжн.). Самый важный, существенный, основной. К. вопрос. | сущ. кардинальность, и, жен. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 …   Толковый словарь Ожегова

• 1 (число) — У этого термина существуют и другие значения, см. 1 (значения). 1 один 2 · 1 · 0 · 1 · 2 · 3 · 4 Факторизация: единица Римская запись: I Двоичное: 1 Восьмеричное: 1 Шестнадцатеричное …   Википедия

Кардинальность Википедия

Мо́щность мно́жества, кардина́льное число́ мно́жества (лат. cardinalis ← cardo «главное обстоятельство; основа; сердце») — характеристика множеств (в том числе бесконечных), обобщающая понятие количества (числа) элементов конечного множества.

В основе этого понятия лежат естественные представления о сравнении множеств:

1. Любые два множества, между элементами которых может быть установлено взаимно-однозначное соответствие (биекция), содержат одинаковое количество элементов (имеют одинаковую мощность, равномощны).
2. Обратно: равномощные множества должны допускать такое взаимно-однозначное соответствие.
3. Часть множества не превосходит полного множества по мощности (то есть по количеству элементов).

До построения теории мощности множеств множества различались по признакам: пустое/непустое и конечное/бесконечное, также конечные множества различались по количеству элементов. Бесконечные же множества нельзя было сравнить.

Мощность множеств позволяет сравнивать бесконечные множества. Например, счётные множества являются самыми «маленькими» бесконечными множествами.

Мощность множества A {\displaystyle A} обозначается через | A | {\displaystyle |A|} . Иногда встречаются обозначения A ¯ ¯ {\displaystyle {\overline {\overline {A}}}} , # A {\displaystyle \#A} и c a r d ( A ) {\displaystyle \mathrm {card} (A)} .

Определение[