Кобба дугласа формула – Производственная функция Кобба-Дугласа

Производственная функция Кобба-Дугласа

Назначение производственной функции

Определение 1

Производство с точки зрения экономики представляет собой процесс применения технологий и ресурсов для получения продуктов, предназначенных для продажи.

Таким образом, это процесс создания товара и услуги, которая обладает определенной полезностью для покупателей. Любая деятельность по производству товаров и услуг является деятельностью направленной на удовлетворения потребностей отдельных индивидов или общества в целом.

Соотношение платежеспособного спроса на товары и предложения определяет цену товара или услуги. Количественной характеристикой предложения или объема производства и стоимости товаров является производственная функция. Производственный процесс оказывает прямое влияние на благосостояние общества в целом: чем выше степень удовлетворения индивидуальных и общественных потребностей и удельный вес среднего класса в общем численности населения, тем выше уровень национального благосостояния и развития.

Задача производственной функции состоит в том, чтобы объяснить рост благосостояния общества в процессе выпуска товаров и услуг.

Функция Кобба-Дугласа в системе производственных функций

Замечание 1

Значение производственных функций выражается в создании экономико-математических моделей, характеризующих зависимость объема производства от его различных факторов или их соотношения в условиях национального хозяйства.

Эти модели включают в себя такие показатели как объем производства в натуральном или стоимостном выражении, затраченные объемы ресурсов (факторов производства).

Различают две разновидности производственных функций:

• во-первых, однофакторные, устанавливающие зависимость объема производства от одного фактора. К этой разновидности относятся линейная, параболическая, степенная и показательная функции;
• во-вторых, двухфакторные устанавливающие зависимость объема производства от соотношения двух факторов. К этой разновидности относятся функции Кобба-Дугласа, Леонтьева, Солоу, Аллена.

Особенности производственной функции Кобба-Дугласа

В качестве двух основных факторов производства выступают капитал и труд. Определенная пропорциональность их сочетания создает условия для получения продукта. Назначение производственной функции Кобба-Дугласа состоит в том, чтобы отражать технологическое соотношение объема труда и капитала, необходимое для производства того или иного товара в необходимом количестве.

Данная производственная функция является двухфакторной. Впервые ее предложил шведский экономист Кнут Векселль, но статистическая проверка была выполнена в период с 1927 по 1947 год двумя учеными – Чарльзом Коббом и Полом Дугласом (в 1928 году вышла их работа под названием «Теория производства»). Именно фамилии этих ученых и дали название производственной функции.

Также термин «производственная функция Кобба-Дугласа» в узком смысле применяется для обозначения постоянной отдачи от масштаба.

Производственная функция, разработанная Коббом и Дугласом, представляет собой первую функцию агрегированного производства. Ее применение позволило осуществлять моделирование не только мелкомасштабных процессов, но и целых отраслей экономики. Статистическое подтверждение данной функции стало началом нового этапа макроэкономического развития, позволяющего дать оценку эффективности производства на уровне национального хозяйства.

Формула производственной функции Кобба-Дугласа

В формуле производственной функции Кобба-Дугласа отражается зависимость объем производства определенного товара от сочетания двух факторов производства – труда и капитала. В общем виде формула имеет следующий вид:

$Q = A • L^α • K^β$, где:

• $Q$ – показатель объема производства, характеризующий реальную стоимость товаров и услуг, произведенных в определенный период времени;
• $A$ – общий показатель технологической продуктивности факторов. Этот показатель является наиболее трудным для определения и предусматривает с определенным уровнем погрешности возможность несовершенства оценки вклада труда и капитала, а также влияние иных факторов;
• $L$ – затраты труда в производство определенного объема продукции, выражающиеся в количестве человеко-часов, отработанных всеми работниками за указанный период времени;
• $K$ – затраты вложенного капитала в производство определенного объема продукции, выражающиеся в реальной стоимости оборудования и машин, используемых в производстве;
• $α$ – технологическая эластичность труда;
• $β$ – технологическая эластичность капитала.

Основу данной формулы составляют статистические расчеты, свидетельствующие о том, что для развитых стран характерны постоянные доли вкладов труда и капитала на протяжении длительного времени. Однако в настоящее время данное утверждение подвергается сомнению.

Эластичность факторов производства в производственной функции Кобба-Дугласа

Важнейшими показателя производственной функции Кобба-Дугласа являются показатели эластичности факторов производства, которые отражают влияние изменения их соотношения на физический объем производства при иных равных условиях.

Возможны три варианта значений, принимаемых коэффициентами эластичности в рамках формулы:

• $α + β = 1$, данное соотношение характеризует постоянную отдачу от масштаба, например, при росте затраченного труда и капитала на 100%, объем производства возрастет на те же 100%, то есть в два раза. производственная функция является линейно однородной;
• $α + β > 1$, данное соотношение характеризует возрастающую отдачу от масштаба, например, при росте затраченного труда и капитала на 100%, объем производства возрастет, допустим, на 120%, то есть более чем в два раза;
• $α + β$

spravochnick.ru

Производственная функция Кобба-Дугласа

Функция Кобба-Дугласа получена в результате математического преоб­разования уже известной нам простейшей производственной функции Q = F (L, К) в такую мо­дель, которая показывает, какой долей совокупного продукта вознагражда­ется участвующий в его создании фактор производства. Она имеет следую­щий вид:

Q = А∙К^α L^β ,

где α изменяется в пределах от 0 до 1, a β = 1 — α.

Функция Кобба-Дугласа — модель с двумя переменными факторами производства. Параметр А — коэффициент, отражающий уровень техно­логической производительности, и в краткосрочном периоде он не изме­няется. Показатели α и β — коэффициенты эластичности объема выпус­ка (Q) по фактору производства, т. е. по капиталу К и труду L соответ­ственно.

Рассмотрим свойства производственной функции Кобба-Дугласа.

Первое свойство – постоянство, убывание или возрастание отдачи от масштаба (см. далее). Второе важное свойство функции Кобба-Дугласа связано с изменением предельной производительности факторов (см. далее). Например, если привлечь в производство дополнительное количество капитала К, а труд L использо­вать в прежнем объеме, то, при прочих равных условиях, предельная про­изводительность труда МРL увеличится, а предельная производительность возросшего объема капитала МРК снизится. Если же увеличить количество труда, при прочих равных условиях, то его предельная производительность снизится, а предельная производительность капитала возрастет. Вывод: нарушение пропорции между трудом и капиталом при заданной техноло­гии приводит к отклонению от оптимального объема производства, т. е. к неэффективности производства. Однако, если мы увеличим параметр А, например, внедрив более произ­водительную технологию, то получим одновременное повышение МРК и MPL, что является условием интенсивного экономического роста. Третье свойство производственной функции Кобба-Дугласа

— постоян­ство отношения дохода от труда к доходу от капитала ( β / α), т. е. посто­янство соотношения долей капитала и труда в национальном продукте.

Изокванта, изокоста. Предельная норма технологического замещения.

Концептуально неоклассическая теория проиводства, которую мы ис­следуем, базируется на положении о взаимозаменяемос­ти факторов производства. Производственная функция, представленная в таблице выше, показыва­ет, что один и тот же объем выпуска продукции может быть достигнут при различных сочетаниях факторов. Для фирмы, стремящейся к максимизации прибыли, наилучшей комбинацией факторов окажется та, которая обеспе­чивает наименьшие издержки. Следовательно, задача фирмы сводится к тому, чтобы обеспечить минимизацию издержек при каждом заданном объеме производства.

Для выявления всех возможных комбинаций факторов при выпуске заданного объема продукции в экономической теории используется понятие изокванты. Слово изокванта происходит от латинского «iso» — равный и «quant» — количество, т. е. равное количество. Изокванта представляет со­бой кривую, любая точка на которой показывает различные комбина­ции двух переменных факторов, обеспечивающие один и тот же объем выпуска продукции. Все комбинации факторов производства, представ­ленные на изокванте, являются технологически эффективными. Например, сочетание 3 ед. фактора К и 4 ед. фактора L может обеспечить выпуск про­дукции, равный 67 ед. (см. таблицу выше). Однако, если используется менее производительная технология, то вышеуказанное сочетание двух факторов даст объем производства, равный, например, 63 ед. Это означает, что ре­сурсы используются неэффективно, поэтому на изокванте с объемом, рав­ном 63 ед., не будет представлена рассмотренная выше комбинация факто­ров (3 ед. К и 4 ед. L). Вернемся к данным таблицы, которые показывают, что выпуск продукции, равный 90 ед., может быть получен при следующих комбина­циях факторов:

• 3 ед. L и 8 ед. К;

• 4 ед. L и 6 ед. К;

• 6 ед. L и 4 ед. К;

• 8 ед. L и 3 ед. К.

Все комбинации будут находиться на изокванте с объемом в 90 ед. Дру­гие комбинации двух факторов (6 ед. L и 8 ед. К; 7 ед. L и 7 ед. К; 10 ед. L и 6 ед. К) дают выпуск продукции, равный 116 ед., и будут находиться на изокванте с соответствующим объемом выпуска. Изобразив несколько изо­квант, мы получим карту изоквант (см. рисунок ниже).

Изокванты обладают следующими

свойствами (аналогично кривой безразличия):

• изокванты никогда не пересекают­ся в силу действия принципа транзитив­ности (это означает следующее: если какая-то альтернатива А предпочтительнее, чем альтернатива Б, а Б предпочтительнее С, то альтернатива А предпочтительнее С). Каждой изокванте соответствует определенный объем выпуска продукции, причем, чем дальше изокванта отстоит от начала координат, тем больший объем выпуска обеспечивается;

• изокванты имеют отрицательный наклон. Это объясняется тем, что для сохранения неизменным объема выпуска продукции при уменьшении использования одного фактора необходимо увеличить применение другого фактора;

• изокванты становятся более пологими по мере продвижения сверху вниз вдоль них. Это связано с тем, что в верхней части изокванты, как вид­но на рисунке выше, для выпуска заданного объема продукции используется большое количество капитала и незначительное количество труда. При дви­жении вниз вдоль изокванты требуется все больше единиц труда для заме­щения каждой единицы капитала, вследствие падения предельной произво­дительности труда по мере наращивания его количества. Этим объясняется выпуклая по отношению к началу координат форма изоквант.

С помощью наклона изоквант можно определить степень замещения одного фактора производства другим. Например, фирма производит про­дукцию с использованием двух переменных факторов: капитала (К) и тру­да (L). Начнем двигаться вниз по изокванте с объемом выпуска продукции, равным 116 ед. (см. рисунок выше), сокращая количество применяемого капита­ла. Для того чтобы остаться на этой изокванте, т. е. обеспечить тот же объем производства, фирме потребуется увеличить количество применяе­мого труда. Отношение изменения в количестве одного фактора к из­менению в количестве другого фактора при сохранении неизменным объема производства называется предельной нормой технологическо­го замещения (MRTS):

MRTS_KL= ∆K / ∆L

В нашем примере MRTS_KL представляет собой пропорцию замещения ка­питала трудом при условии, что мы остаемся на той же самой изокванте с объемом в 116 ед. Как известно, наклон кривой в каждой точке определяется наклоном касательной в данной точке, который, в свою очередь, равен отношению величины изменения фактора .К к величине изменения фактора L (∆K / ∆L). Это означает, что наклон изокванты равен предельной норме технологичес­кого замещения. В силу того, что изокванта имеет отрицательный наклон, MRTSKLs любой точке будет равна наклону касательной в данной точке, умноженной на -1, т. е.

MRTS_KL= ∆K / ∆L ∙ (-1)

Если вы хорошо усвоили категорию предельной нормы замещения MRS (теория поведения потребителя – ординализм), то понятие MRTS не покажется вам слишком сложным.

Как видно из рисунка выше, изокванты имеют выпуклую по отношению к началу координат форму. Это связано с тем, что по мере движения вниз по изокванте MRTS_KL уменьшается. Объясняется этот факт следующим обра­зом: по мере увеличения количества фактора L его предельный продукт (см. далее) умень­шается относительно предельного продукта фактора К.

Изокванты могут иметь различный вид в зависимости от степени взаи­мозаменяемости ресурсов. Рассмотрим три случая. И вновь нам поможет аналогия с взаимозаменяемостью товаров при анализе различной конфигу­рации кривых безразличия. Ресурсы могут обладать абсолютной взаимозаменяемостью. Это означа­ет, что заданный объем выпуска продукции может быть обеспечен как путем использования какого-либо одного из двух переменных ресурсов, так и путем их комбинаций. В этом случае изокванта будет иметь вид прямой линии (см. рисунок а), a MRTS будет постоянной величиной. Например, нефть и газ, как сырье для получения энергии, являются

абсолютно взаимозаменяемыми.

Второй случай (рис. б) — ресурсы обла­дают свойством абсолютной комплементарности. Это означает, что два переменных ресурса, использу­емых для производства данного вида продукции, имеют одну опре­деленную пропорцию. Иначе гово­ря, заданная производственная фун­кция предполагает наличие един­ственно возможной комбинации ре­сурсов. В этом случае MRTS будет равна 0, а изокванта будет иметь вид прямого угла. Обязательным ус­ловием перехода на более высокую изокванту такого вида является соблю­дение заданной пропорциональности в использовании ресурсов. Если бу­дет увеличено количество одного ресурса без соответствующего изменения в количестве другого, то перейти на другую изокванту не представляется возможным. В качестве примера такой производственной системы можно привести сферу транспортных услуг. Для обеспечения роста объема услуг необходимо увеличение в пропорции один к одному как автомобильного парка, так и численности водителей при условии односменного режима работы. Еще более простой пример: для уборки улицы фирма по предос­тавлению жилищно-коммунальных услуг может нанять 1 дворника, снаб­див его одной метлой. Сочетание 20 дворников и 1 метлы экономически бессмысленно, так же, как и сочетание 1 дворника и 20 метел. Переход на более высокую изокванту в данном случае оставляет неизменной пропор­цию 1:1, например, 3 дворника и 3 метлы.

И, наконец, третий случай (рис. в) — изокванты, отражающие час­тичную взаимозаменяемость ресурсов. В этом случае производство продукции может осуществляться с обязательным использованием двух пере­менных ресурсов, например, труда и капитала. Однако их комбинации мо­гут быть самыми различными в соответствии с заданной производственной функцией. Данная форма изоквант встречается чаще всего, и ее принято считать стандартной.

studfiles.net

Кобба- Дугласа, производственная функция Леонтьева.

Производственная функция Кобба-Дугласа (Cobb-Douglas production function) — модель, показывающая зависимость объёма производства (Q) от создающих его факторов производства — труда (L) и капитала (K).

Впервые была предложена Кнутом Викселем, но проверена лишь в 1928 г. американскими экономистами Чарльзом Коббом иПолом Дугласом.

Функция имеет следующий вид:

Q = A × L^α × K^β

где Q — объем производства; L — труд; K — капитал; A — технологический коэффициент; α — коэффициент эластичности по труду; β — коэффициент эластичности по капиталу.

Например, равенство Q = L^0,73К^0,27 означает, что доля труда в совокупном продукте составляет 73%, а доля капитала — 27%.

Производственная функция В. Леонтьева — функция с постоянными пропорциями потребления факторов; описывает жесткие производственные процессы. Это означает, что в жестком технологическом процессе невозможна заме-

на одного фактора другими и недостаток одного фактора нельзя компенсировать избытком другого. Функция В. Леонтьева для 8=1 имеет вид

У пропорционально растет до достижения предельного уровня затрат труда I* = Ка/Ь (рис. 29.2).

Рис. 29.2. Производственная функция В. Леонтьева

Дальнейшее увеличение/, не приводит к увеличению выпуска продукции, т.е. Ауь = Му1 при Ь < Ка/Ь, затем АУ1 монотонно убывает, а Му1 » 0.

Именно производственная функция В. Леонтьева легла в основу модели экономического роста Харрода — Домара.

9. Сущность и функции денег. Формы денег.

Деньги выполняют следующие пять функций, это мера стоимости, средство обращения, средство платежа, средство накопления и сбережения, мировые деньги.

1. Функция денег как меры стоимости. Деньги как всеобщий эквивалент измеряют стоимость всех товаров. Соизмеримыми все товары делает общественно необходимый труд, затраченный на их производство.

Стоимость товара, выраженная в деньгах, называется ценой. Для сравнения цен разных по стоимости товаров необходимо свести их к одному масштабу, т.е. выразить их в одинаковых денежных единицах. Масштабом цен при металлическом обращении называется весовое количество денежного металла, принятое в данной стране за денежную единицу и служащее для измерения цен всех других товаров. Первоначально весовое содержание денежной единицы совпало с масштабом цен, что нашло отражение в названиях некоторых денежных единиц. Так, английский фунт стерлингов действительно весил фунт серебра.

2. Функция денег как средства обращения.

При прямом товарообмене (товар на товар) купля и продажа совпадали во времени и разрыва между ними не было. Товарное обращение включает два самостоятельных акта, разделенных во времени и пространстве. Роль посредника, позволяющего преодолеть разрыв во времени и пространстве и обеспечить непрерывность процесса производства, выполняют деньги.

К особенностям денег как средства обращения следует отнести реальное присутствие денег в обращении и кратковременность их участия в обмене. В связи с этим функцию обращения могут выполнять неполноценные деньги – бумажные и кредитные.

3. Функция денег как средство накопления и сбережения. Деньги, обеспечивая их владельцу получение любого товара, становятся всеобщим воплощением общественного богатства. Так, у людей возникает стремление к их сбережению.

При металлическом обращении эта функция денег выполняла роль стихийного регулятора денежного оборота: лишние деньги уходили в сокровища, недостаток наполнялся из сокровищ.

В условиях расширенного товарного воспроизводства аккумуляция (т.е. накопление и сбережение) временно свободных денежных средств является необходимым условием грузооборота капитала. Создание денежных резервов сглаживает неравномерность и особенности хозяйственной жизни.

В масштабе государства требовалось создание золотого запаса. В связи с изъятием золота из обращения величина золотого запаса свидетельствует о богатстве страны и обеспечивает доверие резидентов и нерезидентов к национальной денежной единице.

4. Функция денег как средства платежа. Деньги в качестве средства платежа имеют специфическую, не связанную со встречным движением товаров схему движения (Т-ДО-Т): товар – срочное долговое обязательство – деньги.

5. Функция мировых денег. В роли мировых деньги функционируют как всеобщее платежное средство, всеобщее покупательное средство и всеобщая материализация общественного богатства.

Мировыми деньгами выступало золото как средство регулирования платежного баланса и кредитные деньги отдельных государств, разменные на золото: в основном доллар США и английский фунт стерлингов.

ВИДЫ ДЕНЕГ

В своей эволюции деньги прошли этапы:

1) металлических;

2) бумажных;

3) кредитных;

4) электронных денег.

Исторически бумажные деньги возникли из металлического обращения и выступали в качестве заменителей ранее находившихся в обращении серебряных и золотых монет.

В течение многовековой истории использования серебряных и золотых монет было замечено, что монеты стертые и испорченные, т. е. содержащие меньший вес, находятся в обращении наряду с монетами полноценными и выражают ту же стоимость. Это привело к мысли заменить металлические монеты бумажными.

Сущность бумажных денег состоит в том, что это денежные знаки, выпускаемые государством для покрытия бюджетного дефицита, и обычно не разменны на металл, но наделены государством принудительным курсом. В настоящее время бумажные деньги в виде казначейских билетов сохранились лишь в 10 странах (США, Италии, Индии, Индонезии и т. д.).

В РФ в соответствии с Законом о Банке России эмиссия наличных денег и организация наличного денежного обращения осуществляются непосредственно Банком России (ст. 4).

Расширение сферы коммерческого и банковского кредита в условиях приобретения товарными отношениями всеобщего характера привело к появлению кредитных денег.

Кредитные деньги в своем развитии прошли следующие этапы: вексель, банкнота, чек, электронные деньги и их последняя разновидность – кредитная карточка.

Вексель – ценная бумага строго установленной формы, удостоверяющая ничем не обусловленное обязательство векселедателя (простой вексель) либо иного указанного в векселе плательщика (переводный вексель) уплатить по наступлении предусмотренного векселем срока определенную денежную сумму.

Отличительные черты векселя:

– абстрактность;

– бесспорность;

– обращаемость.

В зависимости от характера возникновения векселя бывают частными (коммерческими и финансовыми) и казначейскими.

Банкнота – это долговое обязательство банка. В настоящее время банкнота выпускается центральным банком путем переучета векселей, кредитования различных кредитных организаций и государства.

Виды банкнот: классическая; банкнота, имеющая ограниченный размен на золото; банкнота, не разменная на золото.

Следующим кредитным орудием является чек, который появился с созданием коммерческих банков и сосредоточением денежных средств на текущих счетах.

Чек – это денежный документ установленной формы, содержащий поручение чекодателя плательщику произвести платеж чекодержателю указанной в нем суммы.

Чек бывает предъявительским, именным, ордерным.

Чек как денежный документ краткосрочного действия не имеет статуса законного платежного средства, и в отличие от эмиссии денег выпуск чеков в обращение не регулируется законодательством, а целиком определяется потребностями коммерческого оборота.

Механизация и автоматизация банковских операций, переход к широкому использованию ЭВМ в практике банковских расчетов способствовали возникновению новых методов погашения или передачи долга с применением электронных денег.

Наивысшим достижением современной банковской практики является возможность замены чеков электронными кредитными карточками, не только замещающими наличные деньги и чеки в расчетах, но и дающими их владельцу право получить в банке краткосрочную ссуду.

studfiles.net

24. Смысл и расчёт параметров производственной функции Кобба-Дугласа. Прогнозирование на основе производственной функции Кобба-Дугласа.

Впервые производственную функцию степенного вида предложили использовать в виде: , где:

Если в качестве ресурсов выступают только два фактора – капитал К и труд L, говорят о функции Кобба-Дугласа: . Данная функция отличается простотой расчёта основных характеристик и интерпретации параметров.

1. Величина отдачи на масштаб определяется суммой степеней. Если >=<1 имеет место растущая/постоянная/падающая отдача на масштаб.

2. Изокванта асимптотически приближается к осям. Предельная норма замещения. Эластичность замещения ресурсов

3. Эластичность выпуска по ресурсам

К недостаткам функции можно отнести предположения о полной взаимозаменяемости ресурсов, постоянстве структуры капитала с ростом выпуска, постоянстве эффективности производства.

Субстиционная производственная функция имеет в общем следующее выражение:

где:

K – число производственного капитала

L – число производственных трудовых часов или, другими словами, число производственных единиц гуманного капитала.

Каждое увеличение количественного параметра имущественного капитала означает смещение кривой вверх и одновременного увеличения предельной производительности труда при заданном количестве рабочей силы, т.е. на основе вытекающего непосредственно из описанного вывода означает и более высокую величину выпуска при увеличении производственного фактора «труд»: кривая OK₁ .

С увеличением количественного параметра имущественного капитала увеличивается и средняя производительности труда, которая является частным от деления величины выпуска на величину затраченного труда. Однако при этом уменьшается коэффициент труда, определяющий среднее количество затраченного труда на каждую единицу выпуска и являющийся таким образом обратной величиной средней производительности труда.

Кинетическая функция

(где g — норма технического прогресса за единицу времени) получена умножением функции Кобба-Дугласа на e^g, что снимает данную проблему и делает

функцию Кобба-Дугласа экономически интересной.

Эластичность выпуска продукции по капиталу и труду равна со­ответственно a и b, так как

,

и аналогичным образом легко показать, что (dy/dL)/(y/L) равно b.

Следовательно, увеличение затрат капитала на 1% приведет к росту выпуска продукции на a процентов, а увеличение затрат труда на 1% приведет к росту выпуска на b процентов. Можно предположить, что обе величины a и b находятся между нулем и единицей. Они должны быть положительными, так как увеличение затрат производственных факторов должно вызывать рост выпуска. В то же время, вероятно, они будут меньше единицы, так как разумно предположить, что уменьшение эффекта от масштаба производства приводит к более медленному росту выпуска продукции, чем затрат производственных факторов, если другие факторыостаются постоянными.

Если a и b в сумме превышают единицу, то говорят, что функция имеет возрастающий эффект от масштаба производства (это означает, что если К и L увеличиваются в некоторой пропорции, то y растет в большей пропорции).

Если их сумма равна единице, то это говорит о постоянном эффекте от масштаба производства (y увеличивается в той же пропорции, что и К и L). Если их сумма меньше, чем единица, то имеет место убывающий эффект от масштаба производства (y увеличивается в меньшей пропорции, чем К и L).

В соответствии с допущением о конкурентности рынков факторов производства и b имеют дальнейшую интерпретацию как прогнозируемые доли дохода, полученного соответственно за счет капитала и труда. Если рынок труда имеет конкурентный характер, то ставка заработной платы (w) будет равна предельному продукту труда (dy/dL):

.

Следовательно, общая сумма заработной платы (wL) будет равна by, а доля труда в общем выпуске продукции (wL/Y) составит постоянную величину b. Аналогичным образом норма прибыли выражается через dy/dK:

,

и, следовательно, общая прибыль (rК) будет равна ay, а доля прибыли будет постоянной величиной a.

Существует ряд проблем по применению такой функции, особенно в тех случаях, когда она используется для экономики в целом. В частности, даже в тех случаях, когда между выпуском продукции, производственным оборудованием и трудом в производственном процессе существует технологическая зависимость, то совершенно необязательно, что подобная зависимость существует тогда, когда ука­занные факторы комбинируются в масштабах экономики в целом. Во-вторых, даже если такая зависимость для экономики в целом существует, то нет никаких оснований считать, что она будет иметь простую форму.

При построении производственной функции Кобба–Дугласа параметры A, a, b можно оценить с помощью линейного регрессионного анализа по методу наименьших квадратов (МНК):

1) Производственную функцию Кобба–Дугласа приводят к линейному виду путем логарифмирования

2) При применении МНК цель заключается в минимизации суммы квадратичных отклонений (SSD) между наблюдаемыми величинами ln(y_i), (i=1.N; N –количество наблюдений) и соответствующими оценками

3) Введем векторы

; ;

;

и матрицу

Тогда критерий можно записать в виде

.

Дифференцируя SSD по вектору Х и приравнивая производную к нулю систему уравнений МНК

или

.

4) Для оценки критерия значимости выборочных коэффициентов регрессии оценивают дисперсию выборочных коэффициентов

,

где c_ii – элементы главной диагонали матрицы .

s² – дисперсия погрешности измерений.

Оценка s² определяется по формуле

Рассчитывается значение t – параметра

Если полученное значение t больше, чем табличное t_a при (N-3-1) степеней свободы, тогда X_i существенно отлично от нуля при уровне a.

Доверительные границы для определяются по формуле

Тогда вероятность того, что величина X_i действительно находится в этих пределах, составит 1–a.

5) Для оценки адекватности регрессивной модели наблюдаемым величинам объема выпуска y рассчитывается коэффициент множественной детерминации:

,

где .

При малом объеме выборки используется скорректированный коэффициент множественной детерминации

Чем меньше отличается от единицы, тем более обосновано решение о том, что выборочные коэффициенты регрессии могут быть полезны для изучения производственного процесса.

studfiles.net

Двухфакторная модель Кобба-Дугласа

Экономический рост и производственная функция

Экономический рост представляет собой повышение масштабов совокупного производства и объемов потребления в стране, которое характеризуется такими показателями, как: валовой внутренний продукт, валовой национальный продукт, национальный доход.

Вместе с экономическим ростом происходит целый ряд качественных и количественных изменений в обществе, а также структурная трансформация. В странах с экономическим ростом происходит индустриализация, которая сопровождается снижением доли сельскохозяйственной отрасли в общем объеме ВВП и занятости в данной сфере, сокращением продовольственных товаров в общем потреблении, ростом сбережений и увеличением государственных расходов на ВВП.

Измеряется экономический рост темпами роста или же прироста в определенный временной период.

Определение 1

Производственной функцией является зависимость между производственными факторами и максимально возможной величиной продукта, который производится при помощи данных факторов.

Понятие производственной функции является основным в неоклассической теории. Производственная функция применяется с целью определения маржинального продукта и общей эффективности. Последняя – это краеугольный камень всех видов экономических исследований.

Первостепенная задача, решаемая производственной функцией, состоит в определении эффективности использования производственных факторов, а также в распределении между ними полученных доходов, не учитывающие вероятные технологические проблемы.

Виды производственных функций

В экономико-математических моделях, характеризующих зависимость выпуска продукции от различных факторов и состояния национального хозяйства, могут учитываться такие показатели:

• Объем произведенных товаров как в стоимостном, так и в натуральном выражении;
• Объем затраченного основного капитала и фондов;
• Вложенные трудовые ресурсы;
• Расходы при производстве.

Производственные функции делятся на три группы:

1. Однофакторные, куда входят линейная, параболическая, степенная и показательная функция;
2. Двухфакторные: функция Леонтьева, Аллена, Кобба-Дугласа, Солоу, линейная, функция с постоянной заменой используемых ресурсов;
3. Многофакторные.

Двухфакторные функции применяются в различных областях. Функция Леонтьева используется при моделировании мелкомасштабных или полностью автоматизированных процессов. В ней не допускается отклонение от строго детерминированной технологической нормы ресурсов на единицу выпускаемой продукции. Функция Кобба-Дугласа применяется для описания среднемасштабных процессов. Главным условием ее использования является относительно устойчивое и стабильное функционирование данных процессов. Функция Аллена применяется в случае рассмотрения мелкомасштабных процессов с ограниченными возможностями переработки ресурсов. Чаще она используется в ситуациях, когда чрезмерный рост факторов отрицательно воздействует на процесс выпуска. Функция Слоу используется при моделировании систем любых масштабов. Основным условием является зависимость нормы замещений от ресурсных пропорций.

Двухфакторная модель Кобба-Дугласа

Два основных фактора производства – это труд и капитал. Их взаимодействие в определенных пропорциях позволяет создавать конечный продукт. Производственная функция Кобба-Дугласа – это технологическое соотношение объема трудовых ресурсов и капитала для производства некоторого количества продукции. Данная модель относится к двухфакторной и статически была проверена двумя учеными Коббом и Дугласом в 1927-1947 годах.

В производственной функции Кобба-Дугласа отражается зависимость производства какого-либо товара от соотношения капитала и труда. В общем виде формула имеет следующий вид:

$Y = A • Lb • Ka$, где:

• $Y$ – это общий объем произведенный продукции, т.е. реальная стоимость товаров, которые были выпущены в данном году;
• $L$ – трудовой вклад, т.е. количество человеко-часов, которые отработаны в данном периоде;
• $K$ – величина затраченного капитала, т.е. реальная стоимость оборудования, машин и зданий;
• $A$ – это общая продуктивность всех факторов;
• $a$ и $b$ – это эластичность труда и капитала (данные значения определяются существующими технологиями).

Разработка производственной функции Кобба-Дугласа велась на основе статистической информации. Она свидетельствовала о том, что доля трудового вклада и вклада капитала на протяжении долгих лет была постоянной во большинстве развитых стран. Однако, на сегодняшний день многие ученые ставят под сомнение данное положение.

Важную роль при расчете предполагаемого объема производства продукции по формуле Кобба-Дугласа играют параметры a и b. Эластичность факторов показывает влияние изменения их соотношения на физическое производство при учете равенства прочих условий. К примеру, если значение a равно 0,45, то увеличение использования ресурсов труда на 1% приведет к росту объема выпускаемой продукции приблизительно на 0,45%.

Коэффициенты могут принимать три варианта значений:

1. $a + b = 1$. В данном случае производственная функция обладает постоянной отдачей от масштаба. Это говорит о том, что при увеличении использования труда и капитала на 100%, удвоится общий объем выпуска товаров.
2. $a + b$
3. $a + b > 1$. В данном случае отдача от масштаба уменьшается.

При совершенной конкуренции и равенстве эластичности капитала и труда коэффициенты a и b отражают доли каждого фактора в общем производстве.

Национальное хозяйство является сложной системой, состоящей из множества элементов и их взаимосвязей. Именно поэтому возникают трудности при построении какой-либо идеальной модели. Основные проблемы при использовании функции Кобба-Дугласа делятся на две области:

• Анализ размерностей. Приверженцы австрийской экономической школы критиковали рассматриваемую модель за отсутствие точных показателей.
• Отсутствие оснований микроэкономического характера.

spravochnick.ru

Функция Кобба — Дугласа в экономике: vadimrm — LiveJournal

http://en.wikipedia.org/wiki/Cobb%E2%80%93Douglas_production_function

Функция Кобба-Дугласа это зависимость объёма производства от создающих его факторов производства — затрат труда и капитала .
Впервые была предложена Кнутом Викселлем. В 1928 году функция проверена на статистических данных Чарльзом Коббом (англ. Charles Cobb) и Полом Дугласом (англ. Paul Douglas) в работе «Теория производства». В этой статье была предпринята попытка эмпирическим путем определить влияние затрачиваемого капитала и труда на объем выпускаемой продукции в обрабатывающей промышленности США.
Общий вид функции: Q = A * L^a * K^b
Где А — технологический коэффициент, a — коэффициент эластичности по труду, а b — коэффициент эластичности по капиталу.

Если сумма показателей степени (a + b) равна единице, то функция Кобба — Дугласа является линейно однородной, то есть она демонстрирует постоянную отдачу при изменении масштабов производства.
Если сумма показателей степени больше единицы, функция отражает возрастающую отдачу, а если она меньше единицы, — убывающую.
Впервые производственная функция была рассчитана в 1920-е годы для обрабатывающей промышленности США, где получена формула:
Q ~ L^a * K^b с параметрами a=0.73 b=0.27

При увеличении L в 2 раза и K в 2 раза Q увеличивается в 2 раза — это и понятно, строим 2-й завод — копию 1-го и получаем в 2 раза больше продукции.

При увеличении только L в 2 раза Q увеличивается в 1.66 раз.
При увеличении только K в 2 раза Q увеличивается в 1.21 раз.

Чтобы увеличить Q в 2 раза надо увеличить только L в 2.58 раз.
Чтобы увеличить Q в 2 раза надо увеличить только K в 13.0 раз.

Последние 2 цифры говорят о том, что гораздо эффективнее увеличивать объём производства продукции при помощи увеличения затрат труда, а не затрат капитала…
Не совсем понятно каким образом:
-за счёт 2-й и 3-й смены? — но в сутках 24 часа и число смен ограничено
-при увеличении L в 2.58 раз без роста K — зарплата должна падать в 2.58/(Q=2) = 1.29 раз?

vadimrm.livejournal.com

Производственная функция Кобба-Дугласа: примеры решения :: SYL.ru

Производство – это фактически процесс превращения одних продуктов в другие. В процессе которого из совокупности простого получается что-то более сложное по своей сущности. Производственная функция Кобба-Дугласа, как и любая другая, отражает существующую взаимосвязь между полученным результатом и комбинацией факторов, которые использовались для его достижения. Различия между разными моделями состоят в глубине их охвата реального положения дел. Самой простой является линейная, которая отражает взаимосвязь между количеством работников и реальным выпуском. Производственная модель Кобба-Дугласа рассматривает уже не только труд как ресурс для получения результата, но и капитал. Самыми сложными являются современные многофакторные модели. В них фигурирует и земля, и предпринимательские способности, и даже информация.

Производство как процесс

Выпуск продукции по своей сути представляет собой превращение различных материальных и нематериальных вложений (планов, ноу-хау) для создания предметов, предназначенных для потребления. Это процесс создания товара или услуги, которые полезны для индивидов. Рост производства означает улучшение экономического благосостояния. Это связано с тем, что все продукты прямо или косвенно используются для удовлетворения человеческих потребностей. А последние, как известно, безграничны. Поэтому экономическое благосостояние государства часто оценивается с помощью степени удовлетворения потребностей его граждан. Его увеличение связывают с двумя факторами: улучшением соотношения качества и цены имеющихся продуктов и ростом покупательной способности людей за счет более эффективного рыночного производства.

Источник экономического благосостояния

Главным образом в экономике есть только два процесса: производство и потребление. И столько же видов акторов. Производители выпускают продукцию, чтобы удовлетворить нужды потребителей. Экономическое благосостояние, таким образом, состоит из двух компонентов. Первый – это эффективное производство, второй – взаимодействие между факторами. Благосостояние потребителей зависит от продуктов, которые они могут себе позволить, а производителей – от дохода, полученного ими в качестве компенсации за свой труд и вложенные в процесс выпуска материальные и нематериальные активы.

Процесс создания продукта

Каждое предприятие в ходе своей работы имеет дело с множеством отдельных действий. Однако для простоты понимания производства принято выделять пять основных процессов, у каждого из которых есть своя логика, цели, теория и ключевые фигуры. И важно изучать их не только как одно целое, но и по отдельности. Таким образом, в ходе производства выделяют следующие процессы:

• Реальный.
• Процесс распределения доходов.
• Производственный.
• Монетарный.
• Процесс определения рыночной стоимости.

Экономическая дефиниция

Производственная функция – это отношение между выпуском и использованной для его осуществления комбинацией факторов. Главный из них – труд. Простая линейная модель рассматривает только его. Производственная функция Кобба-Дугласа, пример которой будет рассмотрен ниже, учитывает не только труд, но и капитал в качестве фактора процесса выпуска продукции. Другие модели дополнительно принимают во внимание землю (P) и предпринимательские способности (H). Таким образом, производство представляет собой функцию от комбинации этих показателей или Q = f (K, L, P, H). Каждая отрасль хозяйства или даже отдельное предприятие имеет свои особенности. Поэтому производственных функций можно придумать бесконечное множество.

Простая линейная модель

Производственная функция Кобба-Дугласа учитывает два фактора, как это принято в неоклассических теориях. Однако гораздо проще рассматривать только один. Теория абсолютных преимуществ Адама Смита, с которой фактически началась вся современная экономика, имела в основе только труд в качестве фактора производства. Не ушел от этого допущения и Давид Рикардо. И только в 60-х годах прошлого века шведские экономисты Эли Хекшер и Бертил Олин взяли на себя смелость начать рассматривать еще один фактор –капитал. Самая простая производственная модель является линейной. Она описывает зависимость между количеством рабочей силы и выпуском. Ее уравнение включает только одну независимую переменную. Таким образом, линейная производственная функция имеет следующий вид: Q = a * L, где Q – это объем выпуска, a – параметр, L – количество рабочих, занятых в производстве. Рассмотрим отдельный пример. Один рабочий может сделать 10 стульев в день. В этом случае уравнение будет иметь следующий вид: Q = 10 * L.

Закон уменьшения отдачи

Продолжим рассматривать пример, приведенный выше. Линейная функция подразумевает, что увеличение количества рабочих всегда приводит к увеличению объемов производства. Один мастер может сделать 10 стульев в день, пять – 50, сто – 1000. Однако в реальности все немного сложнее. В подобных моделях нужно учитывать неизменные капитальные фонды и уменьшение отдачи. Поэтому в уравнении появляется дополнительный параметр – b. Он находится в промежутке между нулем и единицей, что следует из его экономической сущности. Теперь взаимоотношения между объемом выпуска и количеством работником могут быть описаны следующим образом: Q = a * L^b. Уравнение из предыдущего примера в реальности будет иметь такой вид: Q = 10 * L^0,5. А это означает, что один работник производит 10 стульев, а пять вовсе не 50, а только 22. Сто мастеров могут в реальности сделать не тысячу изделий, а только сто. И это закон уменьшения отдачи в действии.

Многофакторные модели

Производственная функция Кобба-Дугласа имеет вид: Q = a * L^b * K^c. Как видно из формулы, мы уже имеем дело с тремя параметрами (a, b, c) и двумя факторами (L, K). В ней учитываются уже не только трудовые ресурсы (количество работников), но и капитальные (число пил в распоряжении). Параметры производственной функции Кобба-Дугласа зависят не только от отрасли хозяйства, но и технологии, используемой на отдельном предприятии. Нельзя забывать и о действии закона убывающей отдачи от любого используемого фактора. Наше уравнение из вышеприведенного примера может быть расширено следующим образом: Q = 10 * L^0,5 * K. Производственная функция Кобба-Дугласа использует в современных неоклассических теориях наиболее часто из-за своей относительной простоты и приближенности к реальности. Более сложные модели еще только начинают получать свое распространение.

Фиксированные пропорции

Предположим, что единственный способ произвести стул – это дать каждому рабочему по пиле. Лишние инструменты в таком случае просто бесполезны. Это означает, что выпуск продукта предполагает наличие определенного соотношения капитальных и трудовых ресурсов. При этом объем производства определяется «слабым звеном». На этот случай экономистами была придумана особая функция. Она имеет следующий вид: min {L, K}. Если для создания стула нужно два рабочих и одна пила, то min {2L, K}.

Идеальные субституты

Если один фактор может быть заменен на другой, то это будет иметь эффект на вид производственной функции. Например, предположим, что вместо плотников можно использовать роботов. Формула из примера тогда будет выглядеть так: Q = 10 * L + 10 * R. Или обобщенно: Q = a * L + d * R, где a, d – параметры, а L и R – число плотников и роботов. Если же машины в 10 раз быстрее работников, то формула будет выглядеть следующим образом: Q = 10 * L + 100 * R.

Производственная функция Кобба-Дугласа: свойства

Начнем рассмотрение самой популярной неоклассической модели с ее основных особенностей:

1. Производственные функции Кобба-Дугласа учитывает два фактора: труд и капитал.

2. Положительно убывающий предельный продукт.

3. Постоянная эластичность выпуска, равная b для L и c для K.

4. Производственная функция Кобба-Дугласа имеет вид: Q = a * L^b * K^c.

5. Постоянный эффект масштаба, равный сумме b и c.

Исторические сведения

В основе любой экономической теории лежат факторы производства. Производственная функция Кобба-Дугласа рассматривает два из четырех основных: труд и капитал. На сегодняшний день для каждого предприятия можно придумать ее отдельные примеры. Решение производственных функций Кобба-Дугласа не произошло без работ Кната Викселла (1851-1926). Именно он впервые сконструировал данную модель. Чарльз Кобб и Пол Дуглас, именами которых она была позже названа, только протестировали ее на практике. В 1928 году в свет вышла их книга, в которой описывался экономический рост США в 1899-1922 гг. Ученые объясняли его с помощью двух факторов: использованных трудовых ресурсов и инвестированных капитальных. Конечно же, на экономический рост влияет множество других параметров, но статистика доказала, что решающими являются все же те два, которые и выделил Кнат Викселл.

По словам Пола Дугласа, первая формулировка функции появилась в 1927 году. В это время он пытался вывести математическое выражение связи между рабочими и капиталом. Он обратился к своему коллеге Чарльзу Коббу. Последнему и удалось вывести современное уравнение, которое, как оказалось, раньше использовал в своих работах Кнат Викселл. С помощью метода наименьших квадратов ученым удалось вывести экспоненту труда (0,75). Ее значение было подтверждено данными Национального бюро экономических исследований. В 40-х годах прошлого века ученые отошли от констант и заявили, что экспоненты могут меняться с течением времени.

Допущения модели

Если объем выпуска является производной от двух факторов (труда и капитала), то эластичность всей функции будет зависеть от предельной продуктивности каждого из них. Таким образом, Кобб и Дуглас построили свою модель на следующих допущениях:

• Производство не может продолжаться в отсутствие одного из факторов. Труд и капитал не являются субститутами, которые могут заменить друг друга в процессе выпуска. Дополнительные пилы не могут создать стулья без участия плотников.
• Предельная продуктивность каждого из факторов пропорциональна объему выпуска на его единицу.

Эластичность выпуска

Очевидно, что уменьшение объема используемых материалов приводит к сокращению объема продуктов. Производственная функция Кобба-Дугласа имеет дело с маргинальным выпуском. Эластичность в экономике – это процент изменения значения одного показателя в ответ на уменьшение или увеличение другого, связанного с ним. Производственная функция Кобба-Дугласа подразумевает, что b и c – константы. Если b равен 0,2 и количество рабочих увеличится на 10%, то выпуск станет больше на 2%.

Эффект масштаба

Для реального увеличения выпуска объем используемых факторов производства должен возрастать пропорционально. Если так и происходит, то мы говорим, что мы используем эффект масштаба. Производственная функция Кобба-Дугласа, свойства которой мы уже рассмотрели, учитывает его. Если b + c = 1, то это означает, что мы имеем дело с постоянным эффектом масштаба, >1 – увеличивающимся, <1 – уменьшающимся.

Временной фактор

Модель производственной функции Кобба-Дугласа зачастую используется для описания средне- и долгосрочной перспективы. Очевидно, что зачастую нанять новых людей гораздо проще, чем увеличить объем капитальных ресурсов. Поэтому некоторые экономисты утверждают, что простая линейная модель как нельзя лучше подходит для описания коротких временных периодов работы предприятия. Фирме принадлежит определенный размер помещения, ограниченное число станков, что можно изменить только с помощью долгосрочного планирования. Период времени, который необходим для него, может меняться от одного предприятия к другому, как и эластичность производственной функции Кобба-Дугласа.

Проблемы применения

Несмотря на то что двухфакторная производственная функция получила широкое распространение и была проверена Коббом и Дугласом статистически, часть экономистов все равно сомневается в ее точности в различных отраслях и временных периодах. Главным допущением данной модели является постоянство эластичности труда и капитала в развитых странах. Однако так ли это на самом деле? Ни Кобб, ни Дуглас не предоставили теоретических подоплек для его существования. Постоянство коэффициентов b и c значительно упрощает расчеты, и на этом все. При этом ученые ничего не смыслили в инжиниринге, технологиях и менеджменте производственного процесса. К тому же возможность ее применения на микроуровне не говорит о ее правильности в условиях макроэкономики, и наоборот.

Критика преследовала производственную функцию Кобба-Дугласа с самого ее появления в 1928 году. Сначала это так расстроило ученых, что они хотели бросить работу над ней. Но потом они решили продолжить. В 1947 году Дуглас выступил с новыми подтверждениями ее правильности в качестве президента Американской экономической ассоциации. Ученому не удалось продолжить работу над ней из-за проблем со здоровьем. В дальнейшем производственную функцию усовершенствовали Пол Самуэльсон и Роберт Солоу, навсегда изменив представления об изучении макроэкономики.

На сегодняшний день производственная функция Кобба-Дугласа является одной из самых важных концепций. Она описывает связь между вложенными факторами и полученным результатом. В отличие от простых линейных моделей, которые годятся только для описания короткого периода жизнедеятельности предприятия, она может использоваться для долгосрочного планирования. Однако нельзя забывать о ряде допущений и проблем, с которыми связано ее применения.

www.syl.ru