Стохастический процесс – Стохастический процесс Википедия

Стохастические (случайные) процессы

Если случайная величина изменяется во времени, то она образует стохастический (случайный) процесс. Например, это марковский процесс,*пуассоновский, процессы массового об­служивания и т. д. Теория случайных процессов — большая и сложная ветвь теории вероятностей.

* По имени русского математика А. А. Маркова, открывшего и впервые изучавшего математические свойства таких процессов.

Проблеме математического моделирования социальных процессов посвящена фундаментальная монография английского ученого Д. Бартоломью. В ней обобщено значительное число ранее выполненных исследований по данной проблеме (до 200 авторов). В работе рассмотрены следующие вопросы:

модели мобильности в замкнутых социальных системах;

марковские модели открытых систем;

модели с непрерывным временем для замкнутых соци­альных систем;

модели открытых социальных систем;

теория управления на базе марковских моделей;

модели продолжительности пребывания в состоянии и раз­меров системы;

модели социальных систем с установленными размерами групп.

§ 7. Техническая основа правовой информатики

Технической основой правовой информатики является со­временная ЭВМ (компьютер) — устройство для обработки дан­ных, которое может выполнять широкий круг логических, вычислительных и арифметических операций.*

*При расследовании компьютерных преступлений компьютер может вы­ступать в качестве вещественного доказательства.

Идеи создания электронных вычислительных машин воз­никли в конце 30-х — начале 40-х гг. независимо в США, Великобритании, Германии и СССР.

Первая большая ЭВМ ЭНИАК (Electronic Numerical Interrator and Computer)была создана в 1946 г.,*а первая отечественная ЭВМ — в 1951 г. под руководством академика, трижды лауреа­та государственной премии С. А. Лебедева (МЭСМ).

*Первая американская ЭВМ содержала 18 тыс. электронных ламп, веси­ла 35 т, занимала объем 85 м

3и потребляла 15 кВт электроэнергии.

В 1952 г. создана БЭСМ — большая электронная счетная машина.

В 1946 г. американский математик и кибернетик Джон фон Нейман предложил ряд принципиальных идей организации ЭВМ, в том числе концепцию хранения программы в запоми­нающем устройстве. В результате реализации этой и других идей фон Неймана была создана архитектура ЭВМ, во многих чертах сохранившаяся до настоящего времени;*впоследствии она получила название структуры фон Неймана.

*Архитектура ЭВМ — способ ее внешней и внутренней организации.

За последние 35—40 лет в разработке и совершенствова­нии ЭВМ достигнуты огромные успехи. Сформировалась тех­ническая база новых информационных технологий — микро­электронная и компьютерная промышленность.*

*Микроэлектроника — раздел электроники, разрабатывающий методы микроминиатюризации электронных схем и устройств.

Современные ЭВМ при увеличившемся более чем в 20 раз быстродействии имеют в 10 тыс. раз меньшие размеры и по­требляют в 10 тыс. раз меньше электроэнергии. Сегодняшний микропроцессор, который имеет размеры пуговицы и стоит око­ло 100—200 долл., по своим вычислительным возможностям пре­восходит большие ЭВМ первого поколения (на электронных лам­пах). Объем выпускаемой ЭВМ-продукции по цене приближает­ся к 1 трлн. долл., что едва не превосходит объема рынка при­родных ресурсов.

С 1945 г. по настоящее время ЭВМ в своем развитии про­шли пять этапов или поколений: первое — 50-е гг.; второе — начало 60-х гг.; третье — конец 60-х гг.; четвертое — 70-е гг.; пятое — 80—90-е гг.

studfiles.net

Стохастичность — это… Что такое Стохастичность?

Стохастичность (др.-греч. στόχος — цель, предположение) означает случайность. Стохастический процесс — это процесс, поведение которого не является детерминированным, и последующее состояние такой системы описывается как величинами, которые могут быть предсказаны, так и случайными. Однако, по М. Кацу

[1] и Э. Нельсону^[2], любое развитие процесса во времени (неважно, детерминированное или вероятностное) при анализе в терминах вероятностей будет стохастическим процессом (иными словами, все процессы, имеющие развитие во времени, с точки зрения теории вероятностей, стохастические).

Стохастичность в математике

Использование термина стохастичность в математике относят к работам Владислава Борцкевича, который понимал под этим термином чувство выдвигать гипотезы, которое, в свою очередь, отсылает нас к древнегреческим философам, а также к работе Я. Бернулли Ars Conjectandi (лат. искусство загадывать)^[3].

Область исследований стохастических процессов в математике, особенно в теории вероятностей, играет большую роль.

Стохастическая матрица — это матрица, чьи строки или колонки дают в сумме единицу.

Стохастичность в области искусственного интеллекта

В области искусственного интеллекта, стохастические программы работают с использованием вероятностных методов. Примерами таких алгоритмов могут служить: алгоритм имитации отжига, стохастические нейронные сети, стохастическая оптимизация, генетические алгоритмы. Стохастичность в данном случае может содержаться как в самой проблеме, так и в планировании в условии неопределённости. Для агента моделирования детерминированное окружение более простое, нежели стохастическое.

Стохастичность в естественных науках

Примером реального стохастического процесса в нашем мире может служить моделирование давления газа при помощи Винеровского процесса. Несмотря на то, что каждая молекула газа движется по своему строго определённому пути (в данной модели, а не в реальном газе), движение совокупности таких молекул практические нельзя просчитать и предсказать. Достаточно большой набор молекул будет обладать стохастическими свойствами, такими как наполнение сосуда, выравнивание давление, движение в сторону меньшего градиента концентрации и т. д. Таким образом проявляется эмерджентность системы.

Физика

Метод Монте-Карло получил распространение благодаря физикам Станиславу Уламу, Энрико Ферми, Джону фон Нейману и Николасу Метрополису. Название произошло от казино в городе Монте Карло, Монако, где дядя Улама занимал деньги для игры^[4]. Использование природы случайностей и повторов для изучения процессов аналогично деятельности, происходящей в казино.

Методы проведения расчётов и экспериментов на основе случайных процессов как формы стохастического моделирования применялись ещё на заре развития теории вероятностей (напр. Задача Буффона и работах по оценке малых выборок Уильяма Госсета), но наиболее развились в предкомпьютерную эру. Отличительной чертой методов моделирования Монте-Карло является то, что сначала идёт поиск вероятностного аналога (см. алгоритм имитации отжига). До этого методы моделирования шли в противоположном направлении: моделирование использовалось для того, чтобы проверить результат полученной ранее детерминированной проблемы. И хотя подобные подходы существовали до этого, они не были общими и популярными до тех пор, пока не появился метод Монте-Карло.

Возможно, наиболее известное из ранних применений подобных методом принадлежит Энрико Ферми, который в 1930 году использовал стохастические методы для расчёта свойств только что открытого нейтрона. Методы Монте-Карло широко использовались в ходе работы над манхэттенским проектом, несмотря на то, что возможности вычислительных машин были сильно ограничены. По этой причине только с появлением компьютеров методы Монте-Карло начали широко распространяться. В 1950х их используется Лос-Аламосская национальная лаборатория для создания водородной бомбы. Широкое распространения методы получили в таких областях, как Физика, Физическая химия и Исследование операций.

Использование методов Монте-Карло требует большого числа случайных величин, что, как следствие, привело к развитию генераторов псевдослучайных чисел, которые были намного быстрее, чем табличные методы генерации, которые ранее использовались для статистической выборки.

Одной из программ, где практически используются методы Монте-Карло, является MCNP.

Биология

В биологических системах было введено понятие ‘стохастического шума’, который помогает усилить сигнал внутренней обратной связи. Применяется для контроля за обменом веществ у диабетиков. ^[5]

Медицина

Примером подобных стохастических эффектов может служить рак.

Ссылки

1. ↑ M. Kac & J. Logan, in Fluctuation Phenomena, eds. E.W. Montroll & J.L. Lebowitz, North-Holland, Amsterdam, 1976
2. ↑ E. Nelson, Quantum Fluctuations, Princeton University Press, Princeton, 1985
3. ↑ Jeff Miller et al. Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (S). Архивировано из первоисточника 11 июля 2012. Проверено 10 марта 2009.
4. ↑ Douglas Hubbard «How to Measure Anything: Finding the Value of Intangibles in Business» pg. 46, John Wiley & Sons, 2007
5. ↑ Priplata A. et al. Noise-Enhanced Balance Control in Patients with Diabetes and Patients with Stroke. Ann Neurol 2006;59:4–12. DOI:10.1002/ana.20670 PMID 16287079.

См. также

dic.academic.ru

Стохастический процесс — Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 1

Стохастический процесс

Cтраница 1

Стохастические процессы характеризуются тем, что знание их на некотором интервале времени позволяет лишь определять вероятностные характеристики поведения исследуемого объекта вне этого интервала.  [1]

Стохастические процессы такого типа называются марковскими процессами. Они подробно описаны в математической литературе ( [1] стр. Марковским процессом я-го порядка называется процесс, в котором распределение для каждого данного элемента зависит от совокупности только п предшествующих членов. Процесс, в котором каждый элемент определяется из простого распределения вероятностей, можно назвать марковским процессом нулевого порядка.  [2]

Стохастический процесс может быть представлен как семейство функций времени.  [3]

Стохастические процессы почти всегда представляются с использованием линейных дифференциальных систем, возбуждаемых белым щумом. Это представление стохастического процесса v ( t) обычно имеет следующую форму.  [4]

Стохастические процессы, встречающиеся в теории очередей, и их анализ методом вложенных целей Маркова.  [5]

Стохастический процесс называется процессом Маркова, если знание состояния системы в момент времени Tk позволяет предсказать будущее поведение системы без изучения ее состояний в предшествующие моменты времени Т Tk. He поясняя сейчас сказанного более подробно, перейдем к рассмотрению конкретных примеров и задач.  [6]

Стохастический процесс в математике означает процесс бесконечной прогрессии совместно распределенных, выбранных случайным образом переменных. Стохастический осциллятор показывает моменты, когда цена подходит близко к границе ее торгового диапазона за определенный период времени. Стохастический осциллятор состоит из двух кривых: быстрой ( % К) и медленной ( % D) кривой.  [7]

Стохастический процесс — это процесс, описывающий изменения в одной или нескольких переменных, где эти изменения характеризуются неопределенностью. В особенности эти процессы применимы к анализу будущих изменений в ценах активов, так как эти изменения действительно неопределенны.  [8]

Стохастический процесс переменной описывается как подверженный многочисленным небольшим импульсам. На данном этапе представляется подходящим начать описание процесса движения цен активов.  [9]

Стохастические процессы 2 — 503 Стохастические решения 4 — 144 Стоянович С.  [10]

Стохастические процессы — случайные процессы, которые изучаются специальными методами теории вероятностей.  [11]

Стохастический процесс ( вероятностный) — случайный процесс, который изучается методами теории вероятностей.  [12]

Стохастический процесс, лежащий в основе стохастической машины, будет сведен обычным способом к марковскому процессу.  [13]

Стохастические процессы, которые одновременно являются марковскими и стационарными, представляют собой интерес, в частности для описания равновесных флуктуации. Предположим, что замкнутая изолированная физическая система описывается величиной или множеством величин Y ( t), которые можно рассматривать как марковский процесс. В том случае, когда эта система находится в равновесии, Y ( t является стационарным марковским процессом.  [14]

Нестационарный стохастический процесс, связанный с процессом ARMA. Процессы ARIMA ( p d q) становятся стационарными процессами ARMA ( p q), после их дифференцирования d раз, при этом d является целым числом. Процесс ARIMA ( p l q) становится процессом ARMA ( p q) после взятия первых разностей.  [15]

Страницы:      1    2    3    4

www.ngpedia.ru

5. Стохастические системы

5.1. Стохастические процессы (Лекция 16)

5.1.1. Определение и естественные характеристики случайного процесса

5.1.1.1. Определение случайного процесса

Различные внешние возмущающие воздействия, действующие на систему, имеют чаще всего случайный или стохастический характер. Такие воздействия являются стохастическими процессами. Стохастический процесс— это семейство случайных функций времени. Каждая отдельная функция времени называется реализацией процесса.

Пусть ­₁(t),₂(t), …,_n(t) — скалярные стохастические процессы (см. рис.5.1), тогда составленный из них вектор:

V(t) = (v­₁(t), v₂(t), …,v_n(t)) ­^Т (5.1)

представляет собой векторный стохастический процесс. Пусть его компоненты принимают действительные значения для всех t t₀,t₀– задано.

Стохастический процесс может быть определен заданием совместного распределения вероятностей

P (v(t₁) v₁, v(t₂) v₂, …, v(t_m) v_m, ) (5.2)

для всех действительных значений v₁,v₂, …,v_m,t₁ ,t₂ , …,t_mи для любого натуральногоm.

Рис. 5.1. Множество реализаций случайного процесса.

Запись v(t_i)v_iозначает

v­_j(t_i)v_ij,j= 1,2, …,n,i= 1,2,…,m. (5.3)

Функция совместного распределения вероятностей (5.2) известно не всегда, поэтому часто пользуются характеристиками совместного распределения, которые приводятся ниже.

Стохастические процессы могут быть стационарными и нестационарными.

Определение.Стохастический процессV(t) является стационарным, если

P ( v(t₁) v₁, v(t₂) v₂, …, v(t_m) v_m, ) = P ( v(t₁ + ) v₁, v(t₂ + ) v₂, …,

v(t_m+)v_m) (5.4)

выполняется для любых t₁,t₂, ……,t_m,v₁, … ,v_m, для каждогоmи для всех.

Отсюда следует, что стационарный процесс инвариантен относительно начала отсчета.

5.1.1.2. Характеристики случайного процесса

Определение.ПустьV(t) – векторный случайный процесс. Тогда:

m(t) =E[v(t) ] — вектор средних значений процесса; (5.5)

R_v(t₁ ,t₂) =E{[v(t₁) —m(t₁)] [v(t₂) —m(t₂)]^T} — (5.6)

ковариационнаяматрица процесса;

C_v(t₁,t₂) =E[v(t₁)v^T(t₂)] (5.7)

матрица смешанных моментоввторого порядка;

R _v(t,t) =Q(t) (5.8)

матрица дисперсийи

C _v(t,t) =Q‘(t) (5.9)

матрица моментов второгопорядка.

Из (5.6) и (5.7) видно, что если m(t) = 0, тоR_v(t₁ ,t₂) =C_v(t₁,t₂).

Следует иметь в виду, что здесь фигурируют матрицы и векторы. Поэтому развернутая запись, например, матрицы (5.7) C_v(t₁,t₂) имеет вид:

C_v(t₁,t₂) =E .

Можно доказать, что R_v(t₁ ,t₂) иC_v(t₁,t₂) имеют следующие свойства:

а) R_v(t₂ ,t₁) =R^T_v(t₁ ,t₂) для любыхt ₁,t _{2 ;}

C_v(t₂,t₁) =C^T_v(t₁,t₂) для любыхt ₁,t _{2 ;}

б) Q(t) =R_v(t,t)0t;

Q‘ (t) =C_v(t,t)0t;

в) C_v(t₁,t₂) =R_v(t₁ ,t₂) +m(t₁)m^T(t₂) для любыхt ₁,t ₂ .

Если v(t) — стационарный стохастический процесс, то его среднее значение постоянно, а ковариационная матрица зависит только от сдвига аргументов (t₁–t₂) . Стохастический процессv(t) является стационарным в широком смысле, если его матрица моментов второго порядкаC_v(t,t) конечна для всех значений времениt.

studfiles.net

Стохастичность — Циклопедия

See the stochastic process of an 8-ft-tall Probability Machine comparing stock market returns to the randomness of the beans dropping through the quincunx pattern from Index Funds Advisors IFA.com

Стохастичность (др.-греч. στόχος — цель, предположение) означает случайность. Стохастический процесс — это процесс, поведение которого не является детерминированным, и последующее состояние такой системы описывается как величинами, которые могут быть предсказаны, так и случайными. Однако, по М. Кацу^[1] и Э. Нельсону^[2], любое развитие процесса во времени (неважно, детерминированное или вероятностное) при анализе в терминах вероятностей будет стохастическим процессом (иными словами, все процессы, имеющие развитие во времени, с точки зрения теории вероятностей, стохастические).

[править] Стохастичность в математике

Использование термина стохастичность в математике относят к работам Владислава Борцкевича, который понимал под этим термином чувство выдвигать гипотезы, которое, в свою очередь, отсылает нас к древнегреческим философам, а также к работе Я. Бернулли Ars Conjectandi (лат. искусство загадывать)^[3].

Область исследований стохастических процессов в математике, особенно в теории вероятностей, играет большую роль.

Стохастическая матрица — это матрица, чьи строки или колонки дают в сумме единицу.

[править] Стохастичность в области искусственного интеллекта

В области искусственного интеллекта, стохастические программы работают с использованием вероятностных методов. Примерами таких алгоритмов могут служить: алгоритм имитации отжига, стохастические нейронные сети, стохастическая оптимизация, генетические алгоритмы. Стохастичность в данном случае может содержаться как в самой проблеме, так и в планировании в условии неопределённости. Для агента моделирования детерминированное окружение более простое, нежели стохастическое.

[править] Стохастичность в естественных науках

Примером реального стохастического процесса в нашем мире может служить моделирование давления газа при помощи Винеровского процесса. Несмотря на то, что каждая молекула газа движется по своему строго определённому пути (в данной модели, а не в реальном газе), движение совокупности таких молекул практические нельзя просчитать и предсказать. Достаточно большой набор молекул будет обладать стохастическими свойствами, такими как наполнение сосуда, выравнивание давление, движение в сторону меньшего градиента концентрации и т. д. Таким образом проявляется эмерджентность системы.

[править] Физика

Метод Монте-Карло получил распространение благодаря физикам Станиславу Уламу, Энрико Ферми, Джону фон Нейману и Николасу Метрополису. Название произошло от казино в городе Монте Карло, Монако, где дядя Улама занимал деньги для игры^[4]. Использование природы случайностей и повторов для изучения процессов аналогично деятельности, происходящей в казино.

Методы проведения расчётов и экспериментов на основе случайных процессов как формы стохастического моделирования применялись ещё на заре развития теории вероятностей (напр. Задача Буффона и работах по оценке малых выборок Уильяма Госсета), но наиболее развились в предкомпьютерную эру. Отличительной чертой методов моделирования Монте-Карло является то, что сначала идёт поиск вероятностного аналога (см. алгоритм имитации отжига). До этого методы моделирования шли в противоположном направлении: моделирование использовалось для того, чтобы проверить результат полученной ранее детерминированной проблемы. И хотя подобные подходы существовали до этого, они не были общими и популярными до тех пор, пока не появился метод Монте-Карло.

Возможно, наиболее известное из ранних применений подобных методом принадлежит Энрико Ферми, который в 1930 году использовал стохастические методы для расчёта свойств только что открытого нейтрона. Методы Монте-Карло широко использовались в ходе работы над манхэттенским проектом, несмотря на то, что возможности вычислительных машин были сильно ограничены. По этой причине только с появлением компьютеров методы Монте-Карло начали широко распространяться. В 1950х их использует Лос-Аламосская национальная лаборатория для создания водородной бомбы. Широкое распространения методы получили в таких областях, как Физика, Физическая химия и Исследование операций.

Использование методов Монте-Карло требует большого числа случайных величин, что, как следствие, привело к развитию генераторов псевдослучайных чисел, которые были намного быстрее, чем табличные методы генерации, которые ранее использовались для статистической выборки.

Одной из программ, где практически используются методы Монте-Карло, является MCNP.

[править] Биология

В биологических системах было введено понятие ‘стохастического шума’, который помогает усилить сигнал внутренней обратной связи. Применяется для контроля за обменом веществ у диабетиков. ^[5]

[править] Медицина

Примером подобных стохастических эффектов может служить рак.

1. ↑ M. Kac & J. Logan, in Fluctuation Phenomena, eds. E.W. Montroll & J.L. Lebowitz, North-Holland, Amsterdam, 1976
2. ↑ E. Nelson, Quantum Fluctuations, Princeton University Press, Princeton, 1985
3. ↑ Jeff Miller et al. Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (S). Архивировано из первоисточника 11 июля 2012. Проверено 10 марта 2009.
4. ↑ Douglas Hubbard «How to Measure Anything: Finding the Value of Intangibles in Business» pg. 46, John Wiley & Sons, 2007
5. ↑ Priplata A. et al. Noise-Enhanced Balance Control in Patients with Diabetes and Patients with Stroke. Ann Neurol 2006;59:4–12. DOI:10.1002/ana.20670 PMID 16287079.

cyclowiki.org

Стохастический мир — synset

Внимание! Это старая версия сайта. Вход на новую находится на стартовой странице «http://synset.com». Там можно найти новые материалы и последние версии книг.

Эти материалы являются сокращённой электронной версией книги «Стохастический мир». После конвертации из LaTex появились неизбежные артефакты, которые будут постепенно устраняться. Об ошибках или опечатках, найденных в последней версии pdf-файла убедительная просьба сообщать, например, в закладке «обсуждение» вверху на этой странице или почтой mathsynset.com. Вы этим очень поможете в улучшении книги. Приветствуются также комментарии общего плана: что понравилось, а что нет. Для чтения книги в web-браузере стоит прочитать совет по настройке браузера для более комфортного просмотра формул.

Версия для печати: (pdf)

С уважением, Степанов Сергей Сергеевич.

---

Случайные события

Стохастические уравнения

Случайные величины

Нормальное распределение

Совместная и условная вероятность

Вероятностные свойства языка

Вероятности состояния рынка

Стохастическая зависимость

Линейная зависимость

Характеристическая функция

Многомерное распределение Гаусса

Модель аддитивного блуждания

Случайные процессы

Мартингалы

Стохастические уравнения

Уравнения Ито

Почему Ито

Лемма Ито

Точные решения уравнения Ито

Простые стохастические модели

Представление стохастических решений

Автокорреляция и спектр

Порождающий процесс Винера

Средние значения стохастических процессов

Динамическое уравнение для средних

Процесс Феллера

Логистическое уравнение

Степенные ряды для средних

Квазидетерминированное приближение

Вероятности стохастических процессов

Марковские плотности вероятности

Уравнение для плотности вероятности

Решение уравнения Фоккера-Планка

Граничные условия

Вероятность достижения границы

Разложение вероятности по базису

Уравнение для x

Стохастические интегралы

Площадь под траекторией Винера

Интегралы Ито

Квадратичный функционал

Интегрирование стохастических уравнений

Единственность решений

Метод последовательных приближений

Системы уравнений

Скоррелированные блуждания

Системы стохастических уравнений

Уравнение стохастического осциллятора

Линейные многомерные модели

Многомерие помогает одномерию

Некоторые точные решения

Как решать стохастические задачи?

Стохастическая природа

Теория броуновского движения

Стохастический осциллятор

Дрожание земной оси

Электронный шум

Хищники и их жертвы

Стохастическое общество

Финансовые рынки

Эмпирические закономерности

Диверсификация

Портфель на всю жизнь

Опционы

Формула Блэка-Шоулза

Кривая доходности

---

Краткое содержание

Случайные события

Абсолютно детерминированных событий и процессов не бывает. Вселенная разговаривает с нами на языке теории вероятностей. Предполагается, что Читатель хорошо знаком с ней, поэтому напоминаются только факты, необходимые для дальнейшего изучения предмета.

Первый раздел является вводным, он подводит к необходимости использования стохастических дифференциальных уравнений при исследовании различных систем. Затем обсуждается понятие плотности вероятностей, позволяющей вычислять наблюдаемые в среднем величины. Гауссова вероятность лежит в основе шума, воздействующего на детерминированную динамику. Стохастическая связь между случайными величинами и, наоборот, их независимость важны при обнаружении закономерностей между различными объектами и их характеристиками. Ключевым разделом главы является Модель аддитивного блуждания. Именно обобщение этой простой модели приведёт нас в следующей главе к стохастическим дифференциальным уравнениям. Последний раздел Мартингалы и бесплатный сыр содержит ряд формальных определений, которые при желании можно опустить.

Стохастические уравнения

Эта глава является ключевой. В ней вводится основной математический объект нашего интереса — стохастические дифференциальные уравнения. Мы будем использовать максимально неформальный, интуитивный путь, считая, что получение конкретных практических результатов важнее, чем математически строгое их обоснование.

Стохастические уравнения представляют собой достаточно естественный непрерывный по времени предел дискретных случайных процессов, рассмотренных в предыдущей главе. Даже решая непрерывное уравнение, мы будем постоянно возвращаться к его дискретному аналогу, как для получения общих аналитических результатов, так и для численного моделирования. Исключительно важным результатом главы является лемма Ито, при помощи которой мы научимся находить точные решения уравнений в некоторых простых, но важных для практических приложений задачах. Затем обсуждаются способы вычисления автокорреляционной функции случайного процесса и его спектральные свойства. В заключение мы затронем тему систем уравнений, к которой более последовательно вернёмся в шестой главе.

Средние значения

Дифференциальное уравнение для случайной функции x(t) — это лишь один из возможных языков описания стохастического процесса. В ситуации, когда система эволюционирует со временем, средние значения также изменяются и подчиняются определённым дифференциальным уравнениям. Фактически, их решение является наиболее прямым способом получения практически полезных результатов.

Мы начнём эту главу с вывода динамического уравнения для средних. С его помощью будет получено простое выражение для плотности вероятности в ситуации, когда система имеет стационарный режим. Затем мы подробно проанализируем две стохастические задачи: уравнение Феллера и логистическое уравнение. В заключение будут рассмотрены метод разложения средних величин в степенной ряд по времени и квазидетерминированное приближение.

Вероятности

Ещё одним способом получения информации о поведении стохастического процесса является решение уравнений для условной плотности вероятности которым посвящена эта глава.

На простых примерах будут продемонстрированы методы решения подобных уравнений. Затем мы рассмотрим вопрос о граничных условиях, которые наиболее естественным образом учитываются при помощи уравнения Фоккера-Планка. Будет вычислено среднее время достижения границы и построен простой метод решения уравнения Фоккера-Планка при наличии граничных условий. Решения уравнений x(t) мы часто записываем при помощи гауссовой случайной переменной.

Стохастические интегралы

Как и в обычном анализе, если определено стохастическое дифференцирование, то естественно ввести и стохастическое интегрирование. Соответствующая техника даст нам ещё один инструмент получения соотношений для иногда достаточно общих случайных процессов. Это очень красивый раздел стохастической математики, который к тому же активно используется в учебной и научной литературе.

В дифференциальных уравнениях присутствуют два бесконечно малых изменения — снос, пропорциональный dt, и волатильность шума. Соответственно, возможно два вида интегралов. В первом разделе мы рассмотрим стохастические интегралы по dt, изучим их основные свойства и найдём представление некоторых интегралов через обычные случайные величины. Во втором разделе рассматривается интеграл Ито по . Далее будут получены условия, при которых решение стохастического дифференциального уравнения единственно, и рассмотрен итерационный метод построения этого решения.

Системы уравнений

Одномерные стохастические уравнения позволяют описывать только сравнительно простые системы. Даже для обычного физического осциллятора необходимо решать систему из двух уравнений первого порядка. Реальность в общем случае — многомерна. Она даёт нам множество примеров достаточно сложных, но исключительно интересных случайных процессов.

Как и в одномерном случае, мы начнём с дискретных процессов, обобщение которых на непрерывный случай приведёт нас к системе стохастических дифференциальных уравнений. Фактически, эта глава повторяет большинство результатов предыдущих глав. Для тех, кто уверенно владеет тензорной и матричной алгеброй, соответствующие обобщения служат лишь способом повторения уже известного материала. После вывода основных многомерных уравнений будут рассмотрены решения некоторых задач.

Стохастическая природа

В этой главе приведены примеры природных систем, которые естественным образом описываются при помощи стохастических дифференциальных уравнений. Эти системы охватывают широкий спектр приложений от физики до биологии, однако не требуют глубоких познаний в соответствующих областях. Большинство разделов не связаны друг с другом и могут быть прочитаны в любом порядке, независимо друг от друга. Первое стохастическое дифференциальное уравнение в 1908 году записал Поль Ланжевен (Paul Langevin). Именно с него начинается эта глава.

Стохастическое общество

В этой главе собраны некоторые примеры применения стохастических методов к финансовым рынкам и экономике. Волатильный характер цен и экономических индикаторов приводит к тому, что динамика соответствующих систем является существенно стохастической, и член в уравнениях Ито играет ведущую роль.

Сначала мы сделаем небольшой экскурс в финансовые рынки и эмпирические свойства цен финансовых инструментов. Затем рассмотрим теорию диверсификации и бета — коэффициенты. Стохастические методы оказываются очень полезными при изучении сложных финансовых инструментов. Примером такого инструмента является опцион. Мы рассмотрим основные его свойства и двумя различными способами выведем формулу Блэка-Шоулза. После этого будет рассмотрена простая однофакторная модель кривой доходности.

synset.com

СТОХАСТИЧЕСКИЙ ПРОЦЕСС — это… Что такое СТОХАСТИЧЕСКИЙ ПРОЦЕСС?



СТОХАСТИЧЕСКИЙ ПРОЦЕСС

СТОХАСТИЧЕСКИЙ процесс — то же, что случайный процесс.

Большой Энциклопедический словарь. 2000.

• СТОХАСТИЧЕСКИЙ
• СТОЧНЫЕ ВОДЫ

Смотреть что такое «СТОХАСТИЧЕСКИЙ ПРОЦЕСС» в других словарях:

• Стохастический процесс — [stoc­hastic process] процесс называется стохастическим, если он состоит из случайных переменных, значения которых меняются во времени. Подробнее см Случайный  процесс …   Экономико-математический словарь

• Стохастический процесс — Стохастический процесс, то же, что случайный процесс …   Большая советская энциклопедия

• стохастический процесс — то же, что случайный процесс. * * * СТОХАСТИЧЕСКИЙ ПРОЦЕСС СТОХАСТИЧЕСКИЙ ПРОЦЕСС, то же, что случайный процесс (см. СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС) …   Энциклопедический словарь

• стохастический процесс — tikimybinis procesas statusas T sritis chemija apibrėžtis Procesas, kuris iš anksto negali būti tiksliai nusakytas, o yra apibūdinamas jo vykimo tikimybe. atitikmenys: angl. probabilistic process; random process; stochastic process rus.… …   Chemijos terminų aiškinamasis žodynas

• стохастический процесс — atsitiktinis vyksmas statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Tikimybinių veiksnių lemiamas vyksmas. atitikmenys: angl. random process; stochastic process vok. stochastischer Prozess, m; zufälliger Prozess, m rus. случайный… …   Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas

• стохастический процесс — stochastinis vyksmas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. stochastic process vok. stochastischer Vorgang, m rus. стохастический процесс, m pranc. processus aléatoire, m; processus stochastique, m …   Fizikos terminų žodynas

• Стохастический процесс, то —         же, что Случайный процесс …   Большая советская энциклопедия

• СТОХАСТИЧЕСКИЙ ПРОЦЕСС — то же, что случайный процесс …   Математическая энциклопедия

• СТОХАСТИЧЕСКИЙ ПРОЦЕСС — то же, что случайный процесс …   Большой энциклопедический политехнический словарь

• СТОХАСТИЧЕСКИЙ ПРОЦЕСС — то же, что случайный процесс …   Естествознание. Энциклопедический словарь

dic.academic.ru