Масса м: Складские весы Масса-К ТВ-М-150.2-А1 (Без стойки)

Масса (М) — обзор

2.1.3 Метод Галеркина на простом примере

Как уже упоминалось, целесообразно анализировать системы с распределенными параметрами (или непрерывными ) путем преобразования их в дискретные методом Галеркина, или, если на то пошло, коллокацией или конечным элементом методами или методом прямой лагранжевой дискретизации (раздел 2.1.7), а затем с использованием методов, описанных в разделе 2.1.2. Метод Галеркина будет рассмотрен здесь на примере.

Рассмотрим однородную консольную трубу длиной L, массой на единицу длины m и жесткостью на изгиб EI.Простейшее уравнение, описывающее его изгибное движение, имеет вид

(2.22)EI∂4w∂x4+m∂2w∂t2=0,

, где w(x,t) — боковой прогиб — согласно балочной теории Эйлера-Бернулли, в отличие от теории Тимошенко или других теорий более высокого порядка. Граничные условия:

(2.23)wx=0=0,∂w∂xx=0=0,EI∂2w∂x2x=L=0,EI∂3w∂x3x=L=0.

Решение этой проблемы хорошо известно [напр. Бишоп и Джонсон (1960), Мейрович (1997)]. После разделения переменных с константой разделения λr4 пространственное уравнение допускает решение, состоящее из экспонент от ±λr и ±λri, где i =-1.Подстановка в (2.23) дает систему четырех однородных уравнений, условие нетривиальности решения которой приводит к характеристическому уравнению

(2.24)cosλrLcoshλrL+1=0.

Это трансцендентное уравнение дает бесконечный набор собственных значений, первые три из которых таковы:

(2,25)λ1L=1,87510,λ2L=4,69409,λ3L=7,85476;

соответствующие собственные частоты, собственные частоты, равны

(2,26)Ωr=(λrL)2EImL412.

Модальные формы или собственные функции равны

(2.27)ϕr(x)=chλrx-cosλrx-σrsinhλrx-sinλrx,

, где

(2.28)σr=sinhλrL-sinλrL/chλrL+cosλrL.

Прежде чем продолжить, необходимо сделать важное примечание . В теории колебаний и в классической математике принято определять собственное значение как квадрат или, как в уравнении (2. 26), квадратный корень из частоты, за исключением, возможно, размерного фактора, как в (2.26); главное состоит в том, что положительное собственное значение здесь связано с положительной собственной частотой .Однако в теории динамики и устойчивости решения выражаются как пропорциональные exp(iΩt) или exp(λt), так что Ω и λ не совпадают по фазе на 90°; положительное собственное значение в этом случае представляло бы расходящееся движение , т. е. неустойчивую систему! Это может привести к путанице, без сомнения. Однако эти различные значения и обозначения так глубоко укоренились в этой области [ср. уравнения (2.26) и (2.36)], что, по мнению автора, попытка унификации обозначений и значений привела бы к еще большей путанице.Вместо этого предпочтительны контекст и случайные напоминания, чтобы читатель знал, какое из двух обозначений для собственного значения используется.

Когда на свободный конец трубы добавляется сосредоточенная масса Me, ^† уравнение движения то же, но граничные условия

(2. 29)wx=0=0,∂w∂xx=0 =0,EI∂2w∂x2x=L=0,EI∂3w∂x3x=L=Me∂2w∂t2x=L;

, следовательно, на свободном конце действует сила сдвига, связанная с инерцией дополнительной массы. Конечно, для такой простой задачи можно действовать обычным образом и определить собственные значения и собственные функции модифицированной задачи.Тем не менее окажется удобным преобразовать такие системы в дискретные методом Галеркина. С этой целью для рассматриваемой задачи торцевой сдвиг переносится из граничных условий в уравнение движения, которое можно переписать в виде

(2.30)EI∂4w∂x4+m+Meδ(xL) ∂2w∂t2=0,

, где δ(xL) — дельта-функция Дирака; граничные условия (2.29) при этом сводятся к (2.23). По методу Галеркина решение (2.30) можно представить как

(2.31)w(x,t)≃wN(x,t)=∑j=1Nψj(x)qj(t),

, где ψj(x) – соответствующие функции сравнения , т. е. функции в одной области, D=[0,L], удовлетворяющая всем граничным условиям (как геометрическим, так и естественным ^* ), а qj(t) — обобщенные координаты дискретизированной системы, которая в итоге получится при применении этого метода (Мейрович, 1967, 1997). , 1967Мейрович, 1997). Теперь понятно, почему выгодно переформулировать эту задачу в виде уравнений (2.30) и (2.23), так как тогда можно использовать ψj(x)≡ϕj(x), т. е. использовать собственные функции (2.27) в качестве подходящих функций сравнения: подходящих, так как они удовлетворяют граничным условиям, связанным с ( 2.30), а также удобно, так как они уже известны.

Если в левую часть (2.30) подставить аппроксимацию (2.31), то результат вообще будет не нулевым, а будет равен функции ошибок, которую можно обозначить E[wN]. Метод Галеркина требует, чтобы

(2.32)∫DE[wN]ψr(x)dD=0,r=1,2,…N;

, т. е. по области интегральная ошибка, взвешенная по ψr(x), ^† должна быть равна нулю (Finlayson & Scriven 1966).

Таким образом, в этом примере подстановка приближения (2.31) с ψj(x)=ϕj(x) в уравнение (2.30), умножение на ϕr(x) и интегрирование по D=[0,L] приводит к

(2.33)∑j=1NEIλj4qjLδrj+mLδrj+Meϕr(L)ϕj(L)q¨j=0,r=1,2,…,N,

в силу ортогональности собственных функций (2. 27), т.е. из

(2.34)∫0Lϕr(x)ϕj(x)dx=Lδrj,

, где δrj — дельта Кронекера (0forr≠jan и 1forr=j). Очевидно, что система теперь дискретизирована. Таким образом, если используется двухмодовое приближение (N=2), уравнение (2.33) может быть записано в следующей матричной форме:

(2.35)mL+Meϕ12(L)Meϕ1(L)ϕ2(L)Meϕ1( L)ϕ2(L)mL+Meϕ22(L)q¨1q¨2+EIλ14L00λ24Lq1q2={0}.

Собственные значения и собственные частоты этой матричной системы являются приближениями младших двух из непрерывной системы; таким образом, если Me=12 мл, то Ω1=2.018(EI/мл4)12, Ω2=17,165(EI/мл4)12. Соответствующие собственные векторы дают в некотором смысле «смесь» собственных функций первого и второго режима исходной системы, необходимую для аппроксимации собственных функций модифицированной; таким образом, для этого примера

{A}1=1-0,02,{A}2=11,48.

В общем, N должно быть достаточно большим, чтобы обеспечить сходимость. Таблица 2.1 показывает, что сходимость может быть очень быстрой. Точные значения при решении (2. 22) с граничными условиями (2.29) равны Ωr(EI/mL4)-12=2.0163,16.901,51.701дляр=1,2,3.

Таблица 2.1. Аппроксимации трех низших собственных частот модифицированной консольной трубы для различных N в случае Me=12 мл.

Метод Галеркина теперь будет выражены формально в обобщенной форме, полезной для дальнейшего развития. Задача на собственные значения, связанная с уравнениями (2.22) и (2.30), может быть выражена как

(2. 36)L[w]=λM[w],

при соответствующих граничных условиях.Обычно L и M — линейные дифференциальные операторы, хотя M во многих случаях — скаляр, а λ(=Ω2) — собственное значение. В случае уравнения (2.30) L=EI(∂4/∂x4) и M=m+Meδ(x-L), так что M[w]=Mw. Эквивалент утверждения (2.31) теперь равен

(2.37)wN(x)=∑j=1Najψj(x).

Элементы матриц масс и жесткости [ср. уравнения (2.1)], две матрицы в (2.35) могут быть получены как х)]dx.

В случае, когда Me включен в M и граничные условия (2.23), это стандартная проблема. Если же Me исключить из уравнений движения, то граничные условия (2.29) можно переписать в виде

(2.39)w(0)=0,w′(0)=0,w″(L) =0,EIw‴(L)=-λMew(L),

, в котором ()′≡∂/∂x, а задача необычна тем, что собственное значение появляется в граничных условиях. Следовательно, строго (Фридман, 1956) область D зависит от λ. В этом примере для расчетов с уравнением (2.22) и граничными условиями (2.29), приводящими к «точным результатам», к которым приводят результаты из таблицы 2. 1, мы беспечно проигнорировали эту тонкость (сохранив D=[0,1]), но тем не менее получили правильные результаты. Однако это не всегда так, как будет показано в разделе 2.1.4.

Масса | КОСМОС

На Земле термины масса и вес часто используются взаимозаменяемо, но в астрономии и ньютоновской физике масса объекта связана с тем, сколько материи он содержит.Массу объекта можно охарактеризовать его способностью сопротивляться данной силе (мы иногда называем это инерционной массой тела , и, таким образом, масса тесно связана с понятием инерции). Это простое следствие второго закона Ньютона, где сила F , действующая на тело, равна массе m , умноженной на ускорение a , которое оно испытывает, то есть:

F=ma или m=F/a .

В глубоком космосе, вдали от гравитационного поля Земли (или другого крупного тела), объект будет «невесомым» — однако он все еще будет иметь массу и, следовательно, сопротивление заданной силе.

Массы часто выражаются в килограммах (кг), граммах (г) или солнечных массах (M _⊙ ). Тело массивнее другого, когда оно имеет большую массу. Одним из наименее массивных объектов во Вселенной является электрон, масса которого составляет всего 9,11 × 10 ^-31 кг, в то время как масса Солнца равна 1.989 × 10 ³⁰ кг, а массы галактик, подобных Млечному Пути, превышают 10 ⁴² кг.

Универсальный закон всемирного тяготения Ньютона гласит, что все массы во Вселенной притягиваются друг к другу.

В специальной теории относительности существует эквивалентность между массой м , и энергия , и энергия E , учитывая известное уравнение E = MC ² где C — скорость света . Таким образом, все частицы и даже свет имеют связанную с ними массу.

В специальной теории относительности Эйнштейна масса тела изменяется, когда оно имеет скорость v по отношению к наблюдателю. Если масса покоя равна м ₀ , то масса м тела становится:

, где снова c — скорость света.

В общей теории относительности Эйнштейна наличие массы искажает пространственно-временной континуум и делает его «искривленным».В общей теории относительности массы — и даже свет — движутся по прямым линиям в кривизне пространства. Другим следствием массы в общей теории относительности является то, что она приводит к замедлению времени или гравитационному красному смещению. Это заставляет часы в присутствии массы идти медленнее, чем в вакууме. Гравитационная сила, которую тело ощущает в присутствии другой массы, равна гравитационной массы , а в общей теории относительности Эйнштейна гравитационная и инерционная массы идентичны.

Движение массы на пружине

В предыдущей части этого урока движение массы, прикрепленной к пружине, было описано как пример колебательной системы. Масса при пружинном движении обсуждалась более подробно, поскольку мы стремились понять математические свойства объектов, находящихся в периодическом движении. Теперь мы исследуем движение массы на пружине еще более подробно, сосредоточившись на том, как различные величины изменяются с течением времени.Такие величины будут включать в себя силы, положение, скорость и энергию — как кинетическую, так и потенциальную энергию.

Мы начнем наше обсуждение с исследования сил, действующих пружиной на подвешенный груз. Рассмотрим систему, показанную справа, с пружиной, прикрепленной к опоре. Пружина висит в расслабленном, нерастянутом положении. Если бы вы взялись за нижнюю часть пружины и потянули вниз, пружина растянулась бы.Если бы вы потянули с небольшим усилием, пружина немного растянулась бы. И если бы вы тянули с гораздо большей силой, пружина растянулась бы в гораздо большей степени. Какова именно количественная связь между силой тяги и степенью растяжения?

Чтобы определить это количественное соотношение между величиной силы и величиной растяжения, к пружине можно прикрепить предметы известной массы. Для каждого добавленного объекта можно измерить величину растяжения.Сила, приложенная в каждом случае, будет весом объекта. Можно провести регрессионный анализ данных силы-растяжения, чтобы определить количественную взаимосвязь между силой и степенью растяжения. В приведенной ниже таблице данных показаны некоторые репрезентативные данные для такого эксперимента.

Построив график данных силы-растяжения и выполнив линейный регрессионный анализ, можно определить количественное соотношение или уравнение. Сюжет показан ниже.

Анализ линейной регрессии дает следующую статистику:

наклон = 0.00406 м/с
y-перехват = 3,43 x 10 ^-5 ( per почти близко к 0,000)
константа регрессии = 0,999

Уравнение для этой линии

Растяжение = 0,00406•Сила + 3,43×10 ^-5

Тот факт, что константа регрессии очень близка к 1,000, указывает на то, что существует сильное соответствие между уравнением и точками данных. Эта сильная посадка придает достоверность результатам эксперимента.

Эта взаимосвязь между силой, приложенной к пружине, и степенью растяжения была впервые обнаружена в 1678 году английским ученым Робертом Гуком. Как выразился Гук: Ut tensio, sic vis . В переводе с латыни это означает «Как протяженность, так и сила». Другими словами, величина растяжения пружины пропорциональна величине силы, с которой она тянет. Если бы мы завершили это исследование около 350 лет назад (и если бы мы знали немного латыни), мы были бы знамениты! Сегодня эта количественная зависимость между силой и растяжением называется законом Гука и часто приводится в учебниках как

F _{пружина} = -k•x

, где Fspring — сила, действующая на пружину, x — степень растяжения пружины относительно ее расслабленного положения, а k — константа пропорциональности, часто называемая константой пружины.Постоянная пружины — это положительная константа, значение которой зависит от исследуемой пружины. Жесткая пружина будет иметь высокую жесткость пружины. Это означает, что потребуется относительно большое количество силы, чтобы вызвать небольшое смещение. Единицами жесткости пружины являются ньютон/метр (Н/м). Знак минус в приведенном выше уравнении указывает на то, что направление растяжения пружины противоположно направлению силы, действующей на пружину. Например, когда пружина была растянута ниже своего расслабленного положения, x равно вниз .Пружина реагирует на это растяжение, оказывая направленное вверх усилие. X и F находятся в противоположных направлениях. Последнее замечание относительно этого уравнения заключается в том, что оно работает для пружины, растянутой по вертикали, и для пружины, растянутой по горизонтали (такой, которая будет обсуждаться ниже).

Ранее в этом уроке мы узнали, что на объект, который вибрирует, действует восстанавливающая сила.Возвращающая сила заставляет вибрирующий объект замедляться по мере удаления от положения равновесия и ускоряться по мере приближения к положению равновесия. Именно эта возвращающая сила отвечает за вибрацию. Так какова возвращающая сила массы на пружине?

Мы начнем обсуждение этого вопроса с рассмотрения системы на диаграмме ниже.

На схеме показаны воздушная трасса и планер.Планер крепится пружиной к вертикальной опоре. Трение между планером и воздушной гусеницей незначительно. Таким образом, на планер действуют три доминирующие силы. Эти три силы показаны на диаграмме свободного тела справа. Сила гравитации (Fgrav) довольно предсказуема — как по величине, так и по направлению. Сила тяжести всегда действует вниз; его величина может быть найдена как произведение массы на ускорение свободного падения (m•9.8 Н/кг). Опорная сила (Fsupport) уравновешивает силу тяжести. Он питается воздухом от воздушной дорожки, в результате чего планер левитирует над поверхностью гусеницы. Конечная сила – это сила пружины (Fspring). Как обсуждалось выше, сила пружины изменяется по величине и направлению. Его величину можно найти с помощью закона Гука. Его направление всегда противоположно направлению растяжения и к положению равновесия. Поскольку планер с воздушной гусеницей совершает возвратно-поступательные движения , сила пружины (Fspring) действует как восстанавливающая сила.Он действует на планер влево, когда он расположен справа от положения равновесия; и он действует на планер вправо, когда он расположен слева от положения равновесия.

Предположим, что планер оттягивается вправо от положения равновесия и выходит из состояния покоя. На приведенной ниже диаграмме показано направление силы пружины в пяти различных положениях на протяжении пути параплана. Когда планер перемещается из положения А (точка освобождения) в положение В, а затем в положение С, сила пружины действует влево на движущийся влево планер.Когда планер приближается к положению C, степень растяжения пружины уменьшается, а сила пружины уменьшается в соответствии с законом Гука. Несмотря на это уменьшение силы пружины, все еще существует ускорение, вызванное восстанавливающей силой, для всего размаха от положения А до положения С. В положении С планер достиг максимальной скорости. Как только планер проходит влево от положения C, сила пружины действует вправо. Во время этой фазы цикла планера пружина сжимается.Чем дальше от положения С перемещается планер, тем больше степень сжатия и больше сила пружины. Эта сила пружины действует как восстанавливающая сила, замедляя планер при его перемещении из положения C в положение D и в положение E. К тому времени, когда планер достигает положения E, он замедляется до положения мгновенного покоя, прежде чем изменить свое направление и возвращаясь к положению равновесия. Во время движения планера из положения E в положение C степень сжатия пружины уменьшается, и сила пружины уменьшается.На протяжении всего расстояния от положения Е до положения С сохраняется ускорение. В положении С планер достиг максимальной скорости. Теперь планер начинает двигаться вправо от точки C. При этом сила пружины действует влево на планер, движущийся вправо. Эта восстанавливающая сила заставляет планер замедляться на всем пути от положения C до положения D и положения E.

Ранее на этом уроке обсуждались изменения положения груза на пружине во времени.В то время было показано, что положение груза на пружине зависит от синуса времени. Обсуждение относилось к массе, которая колебалась вверх и вниз, будучи подвешенной к пружине. Обсуждение было бы в равной степени применимо и к нашему планеру, движущемуся по воздушной трассе. Если бы детектор движения был размещен в правом конце воздушной дорожки для сбора данных для графика зависимости положения от времени, график выглядел бы так, как показано ниже. Положение А — это крайнее правое положение на воздушной дорожке, когда планер находится ближе всего к детектору.

Позиции, отмеченные на приведенной выше диаграмме, — это те же позиции, которые использовались при обсуждении восстанавливающей силы выше. Вы могли вспомнить из этого обсуждения, что положения А и Е были положениями, в которых масса имела нулевую скорость. Положение С было положением равновесия и было положением максимальной скорости. Если бы тот же детектор движения, который собирал данные о положении и времени, использовался для сбора данных о скорости и времени, то данные на графике выглядели бы так, как показано на графике ниже.

Обратите внимание, что график зависимости массы пружины от скорости от времени также имеет синусоидальную форму. Единственная разница между графиками положение-время и скорость-время состоит в том, что один смещен на одну четверть колебательного цикла от другого. Также обратите внимание на графики, что абсолютное значение скорости наибольшее в положении C (соответствующем положению равновесия). Скорость любого движущегося объекта, независимо от того, вибрирует он или нет, — это скорость с направлением.Величина скорости есть скорость. Направление часто выражается как положительный или отрицательный знак. В некоторых случаях скорость имеет отрицательное направление (планер движется влево) и ее скорость откладывается под осью времени. В остальных случаях скорость имеет положительное направление (планер движется вправо) и ее скорость отложена над осью времени. Вы также заметите, что скорость равна нулю всякий раз, когда положение находится в экстремальном положении. Это происходит в положениях А и Е, когда планер начинает менять направление.Так же, как и в случае маятникового движения, скорость наибольшая, когда смещение массы относительно ее положения равновесия наименьшее. И скорость наименьшая, когда смещение массы относительно ее положения равновесия наибольшее.

На предыдущей странице обсуждался энергетический анализ колебаний маятника. Здесь мы проведем аналогичный анализ для движения массы на пружине.В нашем обсуждении мы будем ссылаться на движение планера без трения по воздушной дорожке, которое было введено выше. Планер потянет вправо от положения равновесия и выйдет из состояния покоя (положение А). Как уже упоминалось, планер затем ускоряется к положению C (положение равновесия). Как только планер проходит положение равновесия, он начинает замедляться, поскольку сила пружины тянет его назад против движения. К тому времени, когда он достигает положения E, планер замедляется до мгновенной паузы, прежде чем изменить направление и разогнаться обратно к положению C.Еще раз, после того, как планер проходит точку C, он начинает замедляться по мере приближения к точке A. Оказавшись в позиции A, цикл начинается сначала… и снова… и снова.

Кинетическая энергия, которой обладает объект, — это энергия, которой он обладает благодаря своему движению. Это величина, которая зависит как от массы, так и от скорости. Уравнение, связывающее кинетическую энергию (KE) с массой (m) и скоростью (v), равно

КЭ = ½•m•v ²

Чем быстрее движется объект, тем большей кинетической энергией он обладает.Мы можем объединить эту концепцию с приведенным выше обсуждением того, как скорость изменяется в ходе движения. Это смешение концепций привело бы нас к выводу, что кинетическая энергия массы на пружине увеличивается по мере ее приближения к положению равновесия; и уменьшается по мере удаления от положения равновесия.

Эта информация представлена ​​в таблице ниже:

Кинетическая энергия — это только одна из форм механической энергии. Другая форма – потенциальная энергия. Потенциальная энергия — это накопленная энергия положения, которым обладает объект. Потенциальная энергия может быть гравитационной потенциальной энергией, и в этом случае положение относится к высоте над землей. Или потенциальная энергия может быть упругой потенциальной энергией, и в этом случае положение относится к положению массы на пружине относительно положения равновесия. Для нашего планера с вибрирующей воздушной гусеницей нет изменения высоты. Поэтому гравитационная потенциальная энергия не меняется.Эта форма потенциальной энергии не представляет большого интереса для нашего анализа изменений энергии. Однако происходит изменение положения массы относительно ее положения равновесия. Каждый раз, когда пружина сжимается или растягивается относительно ее расслабленного положения, происходит увеличение упругой потенциальной энергии. Количество упругой потенциальной энергии зависит от степени растяжения или сжатия пружины. Уравнение, связывающее величину потенциальной энергии упругости (PEspring) с величиной сжатия или растяжения (x), имеет вид

PE _{пружина} = ½ • k•x ²

, где k — жесткость пружины (в Н/м), а x — расстояние, на которое пружина растянута или сжата относительно расслабленного, нерастянутого положения.

Когда планер с воздушной гусеницей находится в положении равновесия (положение C), он движется с наибольшей скоростью (как обсуждалось выше). В этой позиции значение x равно 0 метру. Таким образом, количество упругой потенциальной энергии (PEspring) равно 0 Дж. Это положение, при котором потенциальная энергия минимальна. Когда планер находится в положении А, пружина растягивается на максимальное расстояние и потенциальная энергия упругости максимальна. Аналогичное утверждение можно сделать и для положения E. В положении E пружина сжата больше всего, и упругая потенциальная энергия в этом месте также максимальна.Поскольку пружина растягивается в той же мере, в какой сжимается, потенциальная энергия упругости в положении А (растянутое положение ) такое же, как и в положении Е (положение сжатое ). В этих двух положениях — А и Е — скорость равна 0 м/с, а кинетическая энергия равна 0 Дж. Таким образом, как и в случае вибрирующего маятника, колеблющаяся масса на пружине имеет наибольшую потенциальную энергию, когда она имеет наименьшую кинетическая энергия. И он также имеет наименьшую потенциальную энергию (положение C), когда он имеет наибольшую кинетическую энергию.Эти принципы показаны на анимации ниже.

При проведении анализа энергопотребления обычно используется гистограмма энергопотребления. Гистограмма энергии использует гистограмму для представления относительного количества и формы энергии, которой обладает движущийся объект. Это полезный концептуальный инструмент для демонстрации того, какая форма энергии присутствует и как она меняется с течением времени. На приведенной ниже диаграмме представлена ​​гистограмма энергии для планера с воздушной гусеницей и пружинной системы.

Гистограмма показывает, что по мере того, как масса на пружине перемещается от A к B и C, кинетическая энергия увеличивается, а потенциальная энергия упругости уменьшается. Однако общее количество этих двух форм механической энергии остается постоянным. Механическая энергия переходит из потенциальной формы в кинетическую; но общее количество сохраняется . Аналогичное явление сохранения энергии происходит, когда масса перемещается от C к D и E. Когда пружина сжимается, а масса замедляется, ее кинетическая энергия преобразуется в упругую потенциальную энергию.При этом преобразовании общее количество механической энергии сохраняется. Этот самый принцип сохранения энергии был объяснен в предыдущей главе — главе «Энергия» — учебника по физике.

Очевидно, не все пружины одинаковы. И не все пружинно-массовые системы одинаковы. Одной измеряемой величиной, которую можно использовать для отличия одной системы массы пружины от другой, является период.Как обсуждалось ранее в этом уроке, период — это время, за которое вибрирующий объект совершает один полный цикл вибрации. Переменными, влияющими на период системы пружина-масса, являются масса и постоянная пружины. Уравнение, связывающее эти переменные, напоминает уравнение для периода маятника. Уравнение

T = 2•Π•(m/k) ^.5

, где T — период, m — масса объекта, прикрепленного к пружине, а k — жесткость пружины.Уравнение можно интерпретировать так, что более массивные объекты будут вибрировать с более длительным периодом. Их большая инерция означает, что для завершения цикла требуется больше времени. А пружины с большей жесткостью (более жесткие пружины) имеют меньший период; массам, прикрепленным к этим пружинам, требуется меньше времени для завершения цикла. Их более высокая жесткость пружины означает, что они оказывают более сильное восстанавливающее усилие на прикрепленную массу. Эта большая сила сокращает время, необходимое для завершения одного цикла вибрации.

Как мы видели в этом уроке, вибрирующие объекты качаются на месте . Они колеблются взад и вперед вокруг фиксированного положения. Простой маятник и груз на пружине — классические примеры такого колебательного движения. Хотя это и не очевидно при простом наблюдении, использование детекторов движения показывает, что колебания этих объектов имеют синусоидальный характер. Существует тонкое волнообразное поведение, связанное с тем, как положение и скорость изменяются во времени.На следующем уроке мы будем исследовать волны. Как мы скоро узнаем, если масса на пружине — это покачиваний во времени , то волна — это совокупность покачиваний, разбросанных по пространству . Когда мы начнем изучение волн в Уроке 2, понятия частоты, длины волны и амплитуды останутся важными.

1.Чтобы растянуть пружину на 40 см от исходного положения, требуется усилие 16 Н. Какая сила (в ньютонах) нужна, чтобы растянуть ту же пружину …

а. … в два раза больше?
б. … в три раза больше?
в. …половина дистанции?

2. Постоянно обеспокоенный привычкой белок на заднем дворе нападать на его кормушки для птиц, мистер Х. решает использовать немного физики для лучшей жизни. Его текущий план включает в себя оснащение кормушки для птиц пружинной системой, которая растягивается и колеблется, когда масса белки приземляется на кормушку.Он желает иметь максимально возможную амплитуду вибрации. Должен ли он использовать пружину с большой жесткостью пружины или с малой жесткостью пружины?

3. По предыдущему вопросу. Если г-н Х хочет, чтобы его кормушка для птиц (и прикрепленная к ней белка) вибрировала с максимально возможной частотой, должен ли он использовать пружину с большой жесткостью пружины или с малой жесткостью пружины?

4. Используйте энергосбережение, чтобы заполнить пробелы на следующей диаграмме.

5. Какая из следующих систем масса-пружина будет иметь самую высокую частоту вибрации?

Случай A: Пружина с k = 300 Н/м и массой 200 г подвешена к ней.
Случай B: Пружина с k = 400 Н/м и массой 200 г подвешена к ней.

6. Какая из следующих систем масса-пружина будет иметь самую высокую частоту вибрации?

Случай A: Пружина с k = 300 Н/м и массой 200 г подвешена к ней.
Случай B: Пружина с k = 300 Н/м и массой 100 г подвешена к ней.

Калькулятор плотности p = м/В

Использование калькулятора

Выберите расчет плотности p, массы m или объема V. Введите два других значения, и калькулятор вычислит третье значение в выбранных единицах измерения. Вы также можете ввести экспоненциальное представление, например 3.45е22.

Уравнение плотности для этих расчетов:

\( p = \dfrac{m}{V} \)

Где:
р = плотность
м = масса
В = объем

Калькулятор плотности использует формулу p=m/V, или плотность (p) равна массе (m), деленной на объем (V). Калькулятор может использовать любые два значения для расчета третьего.Плотность определяется как масса на единицу объема. Наряду со значениями введите известные единицы измерения для каждого, и этот калькулятор будет конвертировать между единицами.

Значимые цифры

Для значения 165778 при выборе 4 значащих цифр будет возвращено 165800. Для значения 0,00165778 при выборе 4 значащих цифр будет возвращено 0,001658. См. также наши справочные заметки по значимые фигуры.

Расчет плотности:

Решая плотность, массу или объем, мы можем использовать следующие формулы:

Рассчитать p Учитывая m и V
Рассчитать плотность по массе и объему.

\( p = \dfrac{m}{V} \)

Вычислить m Учитывая p и V
Рассчитать массу по плотности и объему.

\(м = пВ\)

Рассчитать V по данным p и m
Рассчитать объем по плотности и массе.

\(V = \dfrac{m}{p} \)

Кубический корень объема помогает в мысленной визуализации фактического объема.Еще раз спасибо пользователю, который предложил этот калькулятор!

\(\sqrt[3]{V} \)

96q22.html

Часть: Энергия
Год: 1996 Вопрос №: 22
Вопрос: Тележка массой (m), движущаяся со скоростью (v), имеет кинетическую энергию KE. Если масса тележку удвоить, а ее скорость уменьшить вдвое, кинетическая энергия тележки будет:

(1 ) вдвое меньше
(2 ) в два раза больше
(3 ) вчетверо больше
(4 ) в четыре раза больше

Что на самом деле задает этот вопрос?

Объяснение: Дастин С.

[ Вернуться к меню вопросов ]

Ответ 1
вдвое меньше

ПРАВИЛЬНО
Вспоминая KE = 0,5 mv ²
Сначала мы удваиваем массу, которая равна удвоенной кинетической энергии. Тогда скорость уменьшается вдвое, что дает четверть кинетической энергии. При объединении удвоение умноженная на четверть, равна половине, поэтому она в два раза меньше. вернуться к началу

Ответ 2
вдвое больше

НЕПРАВИЛЬНО

Это неверно, потому что при удвоении массы кинетическая энергия удваивается.Но тогда вы должны учитывать уменьшение скорости вдвое. Помните KE = 0,5 мВ ² вернуться к началу



























Ответ 3
вчетверо больше

НЕПРАВИЛЬНО

Вы, кажется, правильно учли уменьшение скорости, но забыли об удвоении массы. Помните KE = 0,5 мВ ² вернуться к началу


























Ответ 4
в четыре раза больше

НЕПРАВИЛЬНО

Это неверно, потому что, когда масса 2x, кинетическая = 2x.Когда скорость вдвое это равно 1/4 кинетической. Объединение 2x четверть равно половине, а не четырем раз как здорово. Помните KE = 0,5 мВ ² вернуться к началу


























Что на самом деле означает этот вопрос?

Этот вопрос действительно спрашивает, как найти кинетическую энергию описанной тележки когда во время движения изменяются и масса, и скорость. вернуться наверх

q21-тело-массы-m-движется- | ЛИДО

Решение:

(a) Когда тело массой m в точке A, стоящее на земле, поднимается над землей на высоту h в точке B, к нему прилагается сила.

Приложенная сила = вес тела

Сила, действующая на массу m = F = мг

‘g’ – ускорение свободного падения при массе 1 кг

(b) Проделанная работа = Сила х перемещение (расстояние)

Вт = мгч

(c) Совершенная работа сохраняется в организме в виде потенциальной энергии

С.Е = мгч

привет студенты добро пожаловать в Лидо обучающие видео с вопросами и ответами Меня зовут Паллави, и я преподаю математику и наука на Лидо давайте посмотрим на это самое интересный вопрос здесь это тело массой m перемещается с земли на высоту хорошо, прежде чем продолжить вопрос давайте предположим, что эти фотографии, как вы видите здесь это рисунок все бутылки имеют массу m ну допустим у всех одинаково масса m и допустим синие бутылки поднял на высоту ч б или ч красные бутылки будут высотой h r желтый будет высотой h y, а розовый один лс так ясно синие бутылки находятся в максимальная высота правильно ладно давайте двигаться вперед с вопросом сейчас так что нам нужно, если сила тяжести на массу 1 кг г Ньютон, то найти силу требовалось или требовалось поднять тело так сила тяжести на масса 1 кг означает, что мы знаем, что сила массу в g справа и дано, что для масса 1 кг, т. м равен 1 сила тяжести г ньютонов, что также дано в вопрос нам нужно найти силу, необходимую для подъема тело так как вы можете видеть, что это магазин менеджер, он хранит бутылки на этих стойках прямо так здесь, когда он поднимает синий бутылка все бутылки имеют одинаковую массу поэтому, когда он продолжает брать синюю бутылку держит его на высоте HB затем он берет красную бутылку скажем и держит его на высоте h он делает для желтого и розового бутылки а, следовательно, сила, необходимая поскольку масса одинакова, а g равно ускорение свободного падения такое же приложенная сила равна вес тела мы знаем, что m g вот как теперь измеряется сила должен найти сила, необходимая для подъема тела на когда он поднимает бутылки это то, что сила требуется и он равен весу тела так что если масса равна 1, то сила равна м в g g — ускорение под действием силы тяжести масса 1 кг поэтому приложенная сила будет просить j ньютона в данном случае давайте перейдем к следующей части, которая найти работу сделано в подъеме тела, так что теперь он поднимая тело и удерживая его над вот это мы все знаем совершенная работа отдается в виде силы в смещение мы уже рассчитали силу разве это не мг а в этом случае, так как масса равна 1 кг, значит поэтому мы приняли это как следовательно, сила равна g, если масса равна единице. тогда сила g Ньютон прав, так что мы уже знаем сила здесь так что будет расстояние или смещение в этом случае сейчас идут эти высоты на картинке, как вы можете видеть он берет бутылку, сохраняя синяя бутылка на большем расстоянии поэтому он больше, чем hr больше, чем поэтому hb больше, чем больше, чем h желтого больше, чем h розового так что явно больше работы сделано чтобы сохранить тело тело, которое имеет массу одинаковую массу все тела такие же, как но синяя бутылка большая часть работы выполняется там, потому что смещение больше почему, потому что проделанная работа равна силе смещения возьмем водоизмещение л.с. или ч скажем поэтому совершенная работа равна сила, которую мы уже рассчитали что мг и смещение h поэтому работают сделано m g h теперь, как только мы сохраним бутылка вон там, когда у нас есть хранил это здесь найти потенциальную энергию, запасенную в тело поэтому эта проделанная работа сохраняется в теле в виде потенциальной энергии, и это потенциальная энергия также равна мг, так что в случае с синими бутылками это будет быть может в случае с красными бутылками это может быть в случае с желтой бутылкой это будет моя и то же самое для розовой бутылки, которая мог бы поэтому отсюда мы также можем узнать, какой один имеет наибольшую потенциальную энергию правильно, так что я надеюсь, что вы поняли это вопрос, если есть какие-либо дополнительные вопросы, пожалуйста, оставьте свои комментарии ниже спасибо