Модель объекта не изменяющегося во времени является – 2 Лекция 2. Основные термины в математическом моделировании. Виды математических моделей

2 Лекция 2. Основные термины в математическом моделировании. Виды математических моделей

 

Содержание лекции:

—                     основные понятия математического моделирования; виды математических моделей.

 

Цель лекции:

— изучить основные понятия математического моделирования и виды математических моделей.

 

2.1 Основные термины в математическом моделировании

Каждая математическая модель представляет собой упорядоченную комбинацию таких составляющих как компоненты, переменные, параметры, функциональные зависимости.

Под компонентами модели понимают составные части, которые при соответствующем объединении образуют систему. Компоненты могут быть либо неделимые структурные образования («элементы» модели), либо составные части, являющиеся «подсистемами».

Обычно входы и выходы системы называют 

переменными, остальные величины – параметрами. Эти допущения приняты условно. Без каких-либо дополнительных соглашений ответить невозможно, где переменные, а где параметры. В качестве такого соглашения может быть принят, например, класс функций. Деление переменных на входные и выходные тоже не является абсолютным. Это справедливо по отношению к определенной системе. Надо исходить из конкретной характеристики всей изучаемой системы. Входы системы (экзогенные переменные) порождаются вне изучаемой системы и являются результатом действия внешних причин. Выходы (эндогенные переменные) возникают в системе в результате действия на нее экзогенных переменных.

Главные составляющие модели – функциональные зависимости, которые описывают поведение переменных и параметров системы или компонента. Обычно они устанавливают внутренние отношения между экзогенными (х) и эндогенными (у) переменными либо между переменными и зависимыми от них параметрами (р):

а) y = φ(p,x),                  

б) р = ψ(x,y). 

Функции φ часто называют операторными (или просто операторами), а функции ψ – параметрическими. Закон функционирования системы, может быть задан аналитически, графически, таблично и т.д.

          Последняя составляющая моделей – ограничения. В простейшем случае к ограничениям относят область изменения вектора аргументов модели  xD_x. Параметры модели тоже могут задаваться на некотором разрешенном множестве  pD_p.

Чаще всего считается, что моделируемая система не оказывает действия на окружающую среду. Вопрос о допустимости пренебрежения внешней средой должен быть обоснован.

 

2.2. Основные виды математических моделей

          Создание некоторой универсальной модели, отвечающей различным аспектам ее применения, практически невозможно. Для получения информации, отражающей те или иные свойства управляемого объекта, необходима классификация моделей. В основе классификации лежат особенности оператора 

φ. Все многообразие объектов управления, исходя из временного и пространственного признаков, можно разделить на следующие классы: статические или динамические; линейные или нелинейные; непрерывные или дискретные во времени; стационарные или нестационарные; процессы, в ходе которых их параметры изменяются в пространстве, и процессы без пространственного изменения параметров. Так как математические моделии являются отражением соответствующих объектов, то для них характерны те же классы. Полное наименование модели может включать в себя совокупность перечисленных признаков. Эти признаки послужили основой названия соответствующих типов моделей.

В зависимости от характера изучаемых процессов в системе все модели могут быть разделены на следующие виды:

Детерминированные модели

 – отображают детерминированные процессы, то есть процессы, в которых предполагается отсутствие всяких случайных  воздействий.

Стохастические модели – отображают вероятностные процессы и события; в  этом случае анализируется ряд реализаций случайного процесса, и   оцениваются средние характеристики.

Стационарные и нестационарные модели. Модель называется   стационарной, если вид оператора φ и его параметры p не изменяются во   времени, то есть, когда справедливо

φ[p(t),x]= φ[p(t+τ),x], т.е.  y= φ(p,x).                            

Если же параметры модели изменяются во времени, то модель является

  параметрически нестационарной

y= φ[p(t),x].                                                                             

          Самый общий вид нестационарности – когда от времени зависит и вид функции. Тогда в запись функции добавляется еще один аргумент

y= φ(p,t,x).                 

Статические и динамические модели. В основе такого разделения типов моделей лежат особенности движения  исследуемого объекта как материальной системы.

Говоря о моделях с позиций задач управления, надо отметить, что под пространством здесь понимается не геометрическое пространство, а пространство состояний – координат состояний выходных переменных у. Элементами вектора y являются обычно контролируемые технологические параметры (расход, давление, температура, влажность, вязкость и т.д.). Состав элементов вектора yдля самого объекта может быть шире, чем для модели этого объекта, так как при моделировании требуется изучение только части свойств реальной системы. Движение объекта управления в пространстве состояний и во времени оценивается с помощью векторного процесса y(t).

Модель системы называется статической, если состояние системы не изменяется, то есть система находится в равновесии, но движение связано со статичным состоянием объекта, находящегося в равновесии. Математическое описание в статических моделях не включает время как переменную и состоит из алгебраических уравнений либо дифференциальных уравнений в случае объектов с распределенными параметрами. Статические модели обычно являются нелинейными. Они точно отражают состояние равновесия, вызванное переходом объекта от одного режима к другому.

  Динамическая модель отражает изменение состояния объекта во времени. Математическое описание таких моделей обязательно включает производную во времени. Динамические модели используют дифференциальные уравнения. Точные решения этих уравненийизвестны только для некоторого класса дифференциальных уравнений. Чаще приходится прибегать к использованию численных методов, являющихся приближенными.

Для целей управления динамическую модель представляют в виде передаточной функции, связывающей входные и выходные переменные.

Линейные и нелинейные модели. Математически функция L(x) – линейна, если 

L(λ₁x₁+λ₂x₂)=λ₁L(x₁)+λ₂L(x₂).

  Аналогично и для функций многих переменных. Линейной функции присуще использование только операций алгебраического сложения и умножения переменной на постоянный коэффициент. Если в выражении для оператора модели есть нелинейные операции, то модель является нелинейной, в противном случае модель – линейна.

Модели с сосредоточенными и распределенными параметрами. Следует отметить, что с учетом введенной терминологии было бы корректнее в названии модели вместо слова «параметры» употреблять понятие «координата состояния». Однако это сложившееся название, которое часто встречается во всех работах по моделированию технологических процессов.

Если основные переменные процесса изменяются как во времени, так и в пространстве (или только в пространстве), то модели, описывающие такие процессы, называются моделями с распределенными параметрами. В этом случае вводится геометрическое пространство  z=(z₁,z₂,z₃)  и уравнения имеют вид:

y(z)=φ[p(z),z,x)], p(z)=ψ[y(z),z,x].

Их математическое описание включает обычно дифференциальные уравнения в частных производных, либо обыкновенные дифференциальные уравнения в случае стационарных процессов с одной пространственной координатой.

Если можно пренебречь пространственной неравномерность значений координат состояний объекта, т.е. градиент , то соответствующая модель – модель с 

сосредоточенными параметрами. Для них масса и энергия как бы сосредоточены в одной точке.

Трехмерность пространства не всегда обязательна. Например, модель  змеевика с нагреваемым рабочим телом и с тонкостенной оболочкой обычно исходит из одномерности объекта – учитывается только длина змеевика. В то же время процесс передачи тепла в ограниченный объем рабочего тела через толстую стенку может быть описан одномерной моделью, учитывающей только толщину оболочки и т.п.  Для конкретных объектов форма соответствующих уравнений требует обоснований.

Модели непрерывные и дискретные во времени. Непрерывные модели отражают непрерывные процессы в системах. Модели, описывающие состояние объектов относительно времени как непрерывного аргумента – непрерывные (по времени):

y(t)=φ[p(t),x(t)], p(t)=ψ[y(t),x(t)].

Дискретные модели

 служат для описания процессов, которые предполагаются дискретными. Дискретная модель не может дать прогноз поведения объекта на интервале между дискретными отсчетами времени. Если введем квантование по времени с шагом ∆t, то рассматривается дискретная шкала , где  i=0,1,2…- приобретает смысл относительного времени. И дискретная модель:

y(i)=φ[p(i),x(i),∆t]; p(i)=ψ[x(i),y(i),∆t].

 При правильном выборе шага  ∆t можно ожидать от дискретной модели результата с наперед заданной точностью. При изменении ∆t должны быть пересчитаны и коэффициенты разностного уравнения.

          Дискретно-непрерывные модели используются для случаев, когда хотят выделить наличие как дискретных, так и непрерывных процессов.

Требования, предъявляемые к математическим моделям: точность – свойство, отражающее степень совпадения предсказанных с помощью модели значений параметров объекта с их истинными значениями; экономичность затрат машинного времени; универсальность – применимость к анализу группы однотипных объектов.

studfiles.net

1.4. Моделирование как наука и искусство

Моделирование как вид профессиональной деятельности связано с анали­зом реальных систем и процессов самой разной природы. Специалист по моделированию при разработке модели в конкретной области должен свя­зать словарь этой области с терминологией моделирования, выделить под­системы и их связи в реальной системе, определить параметры подсистем и их зависимости, выбрать подходящий уровень абстракции при построении модели каждой подсистемы. Он должен грамотно выбрать подходящий ма­тематический аппарат и корректно его использовать, уметь реализовать эле­менты модели, их связи и логические отношения подходящими средствами в среде моделирования, понимать ограничения при интерпретации результа­тов моделирования, владеть методами верификации и калибровки моделей. Все это делает моделирование серьезной научной деятельностью.

Но моделирование является также и искусством, причем в значительно большей мере, чем им является, например, программирование. Универсаль­ного общего способа построения адекватных моделей не существует. Хотя для многих физических явлений давно разработаны адекватные модели, дос­таточные для решения широкого класса задач анализа динамических систем (например, связь скорости, расстояния и времени при анализе свободного перемещения объектов в пространстве), однако для производственных, со­циальных, биологических систем, а также многих технических систем при конструировании модели нужно проявить изобретательность, знание мате­матики, понимание процессов в системе, сути абстрагирования и т. п. По-строение модели — созидательная креативная деятельность сродни искусст­ву, она требует интуиции, глубокого проникновения в природу явления и решаемой проблемы.

Виды моделей

Модели можно классифицировать по различным признакам: статические и динамические, непрерывные и дискретные, детерминированные и стохас­тические, аналитические и имитационные и т. д.

2.1. Статические и динамические модели

Статические модели оперируют характеристиками и объектами, не изме­няющимися во времени. В динамических моделях, которые обычно более сложны, изменение параметров во времени является существенным. Модель нефтеналивного порта является динамической: в ней модели­руется поведение во времени отдельных объектов системы: движение танке­ров в акватории порта, движение цистерн на причале, уровень нефти в на­копителях.

Статические модели обычно имеют дело с установившимися процессами, уравнениями балансового типа, с предельными стационарными характери­стиками. Моделирование динамических систем состоит в имитации правил перехода системы из одного состояния в другое с течением времени. Под состоянием системы понимается набор значений существенных парамет­ров и переменных системы. Изменение состояния системы во времени в динамиче­ских системах — это изменение значений переменных системы в соответст­вии с законами, определяющими связи переменных и их зависимости друг от друга во времени.

Пакет AnyLogic поддерживает разработку и анализ динамических моделей. Этот инструмент содержит средства для аналитического задания уравнений, описывающих изменение переменных во времени, дает возможность учета модельного времени и содержит средства его продвижения, здесь также имеется язык для выражения логики и описания прогресса систем под влиянием любого типа событий, в частности, исчерпания таймаута — задан­ного интервала времени.

studfiles.net

7. Модели решения

ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ ЗАДАЧ

Задачи, которые решает человек в своей образовательной, научно-исследовательской, инженерной деятельности, делятся на две категории: вычислительные и функциональные. Цель вычислительных задач – расчет параметров, характеристик, обработка данных. Функциональные задачи – это проектирование, управление, обработка баз данных. Процесс решения задачи отображает схема (рис. 1). Под реальным объектом подразумевают исследуемый объект (систему, явление, процесс). Модель – это материальный или воображаемый объект, который в процессе познания замещает реальный объект, сохраняя при этом его существенные свойства.

В задачах, связанных с проектированием техничес- ких систем, имеют дело с воображаемым объектом.

Моделирование – это метод научного познания, заключающийся в создании и исследовании моделей. В некоторых случаях моделирование – единственный способ изучения сложного объекта, над которым невозможно или очень сложно провести эксперимент (например, некоторые технологические процессы, экономические процессы в масштабах государства, экологические системы, взаимодействие элементов Солнечной системы, полёт космического корабля и т. д.).

Моделирование позволяет сократить время изучения реального объекта, снизить материальные затраты и повысить эффективность исследований. Форма и содержание модели определяются постановкой задачи, целью исследования и уровнем знаний исследователя об оригинале.

Модель создается ради достижения одной из следующих целей:

− интерпретация прошлого поведения объекта на основе выявление существенных закономерностей и причинно-следственных связей,

− прогнозирование будущего поведения объекта при различных условиях его испытания, при имитации экстремальных режимов работы,

− оптимизация параметров системы или её структуры,

− создание алгоритма оптимального управления системой (технологическим процессом, запасами) с точки зрения заданного критерия.

Единую классификацию моделей составить практически невозможно из-за многозначности понятия «модель». Рассмотрим классификацию моделей по степени их абстрагирования от реального объекта (рис. 2).

Геометрическая модель отображает пространственные и геометрические свойства оригинала (макеты архитектурных сооружений, выставочные модели самолётов, судов, автомобилей).

Физическая модель воспроизводит физические свойства оригинала. Она представляет собой увеличенную или уменьшенную копию оригинала и создаётся по законам теории подобия. Например, установка «Токамак» – физическая модель термоядерных реакторов атомных электростанций.

Аналоговая модель имеет физическую природу, отличную от оригинала, но динамика её внутренних процессов описывается теми же математическими соотношениями, что и в оригинале. В качестве аналоговых моделей используют электрические, электронные, механические, гидравлические, пневматические и другие системы.

Мнемоническая модель представляет знания об изучаемом объекте в форме схемы, графа, чертежа, диаграммы, химической формулы.

Математическая модель отображает свойства реального объекта на языке математических формул и уравнений.

Вычислительная модель – программа, реализующая алгоритм решения математической модели.

Компьютерная модель представляет собой электронный эквивалент исследуемого объекта. Это комплекс специальных программных и аппаратных средств (абстрактная и физическая составляющие). В настоящее время в компьютерном моделировании используются несколько технологий, реализуемых пакетами Matlab – Simulink – Stateflow, Model Vision Studium, Dymola.

Информационная модель отображает информационные процессы (сбор, передачу, хранение, обработку данных) с применением компьютерных технологий.

Из всех способов познания мира математическое моделирование занимает особое место, так как позволяет сводить исследования сложнейших процессов и систем к решению математических задач и использовать при этом весь богатейший арсенал математических методов и достижений компьютерных технологий. Математическая модель является основой для создания вычислительной, компьютерной, информационной моделей.

Основой для построения математической модели является закон функционирования моделируемой системы, связывающий входные воздействия, выходные величины (процессы) и параметры системы. Он может быть задан в виде функции, логических условий и т.д. Если закон функционирования не содержит параметра времени t, т. е. не зависит от времени, то модель называют статической.

Систему, поведение которой зависит от времени, описывают динамической моделью. Для динамических систем вводится понятие состояние, которое полностью и однозначно определяется совокупностью переменных состояния. Множество возможных состояний системы называют пространством состояний. Закон, в соответствии с которым, система переходит из одного состояния в другое, называют функцией переходов.

Модели для непрерывных во времени систем и процессов часто строятся в виде обыкновенных дифференциальных уравнений (моделирование движения различных объектов, процессов в электрических цепях, систем автоматического управления и т.д.).

Процессы, определяемые не только функциями времени, но и функциями пространственных координат, описываются моделями в форме дифференциальных уравнений в частных производных (процесс распространения тепла внутри твердого тела, диффузия одного вещества в другое, распространение колебаний и т. д.).

Для описания процессов и систем, состояния которых изменяются дискретно, т. е. в определенные дискретные моменты времени, используют дискретные модели. К этому классу моделей принадлежат конечные автоматы. Моделями в виде детерминированного конечного автомата описывают функционирование лифта, светофора, музыкального и торгового автоматов, системы анализа текстов и т.д.

Для системы, параметры и входные воздействия которой можно рассматривать как детерминированные (однозначно определяемые), строят детерминированную модель. В противном случае, ее описывают стохастической моделью. Стохастическая модель устанавливает вероятностные соотношения между входом и выходом системы, позволяет сделать статистические выводы о некоторых вероятностных характеристиках. Например, с помощью стохастических моделей описываются изменения координат частицы в броуновском движении, процесс термоэлектронной эмиссии с поверхности металла, системы радиолокации, полет космического аппарата и т. д.

К классу дискретных стохастических моделей принадлежит вероятностный автомат (лотерея «Спринт»). К этому же классу относится модель типа «системы массового обслуживания» (моделирование процессов в автоматических телефонных станциях, в многооперационных сборочных линиях на производстве, обслуживания потока железнодорожных составов на сортировочной горке и т. д.).

Модели могут формироваться в виде передаточных функций, интегральных, алгебраических, трансцендентных уравнений, в пространстве состояний, в форме частотных функций и т. д.

Решение многих задач требует использования моделей нескольких классов. Например, задача оптимизации параметров (задача коммивояжера) формализуется с помощью графа (мнемоническая модель) и системы математических соотношений (математическая модель).

Различают две технологии получения математических моделей: теоретическая (физическая) и экспериментальная. Теоретическая технология предполагает моделирование на основе физических законов, понимания сущности изучаемого процесса. Экспериментальная технология применяется к системам, для которых известны только входные и выходные сигналы и отсутствует информация о структуре и принципах функционирования. Такие системы отображают с помощью модели «черный ящик». Для того чтобы представить зависимость между входами и выходами системы в аналитическом виде решают задачу идентификации.

Информационная модель определяется как связанная совокупность информационных объектов, описывающих информационные процессы в исследуемой предметной области. Информационный объект представляет собой описание реального объекта или процесса в виде набора его характеристик (реквизитов). Рассмотрим несколько универсальных информационных моделей.

База данных – это средство накопления и организации больших объемов, структурированных данных, описывающих объекты конкретной предметной области. Система управления базами данных – комплекс языковых и программных средств для создания баз данных, хранения данных и управления ими. Структура данных и взаимосвязи внутри нее определяются моделью представления данных.

Искусственный интеллект – одно из направлений кибернетики, развивающее и реализующее идею моделирования интеллектуальных функций человека и создания на этой основе искусственного подобия человеческого разума. Рассматривается два пути решения задачи: нейрокибернетика, ориентированная на аппаратное моделирование структуры человеческого мозга (нейронные сети) и кибернетика «черного ящика», ведущая поиск моделей решения интеллектуальных задач на существующих компьютерах.

Экспертные системы – это программные комплексы, объединяющие и накапливающие знания специалистов в конкретных предметных областях, обладающие возможностями анализировать данные, консультировать, выдавать рекомендации по запросу пользователя. Ядро экспертной системы – база знаний, в которой хранятся знания в виде фактов (утверждений) и правил (процедур). Наиболее развиты в настоящее время экспертные системы в области медицинской диагностики, геологической разведки, юриспруденции, экономики, диагностики сбоев в работе компьютерных систем и т. д. В базах знаний используются различные модели представления знаний.

studfiles.net

2) Классификация моделей по фактору времени:

Статические – модели, описывающие состояние системы в определенный момент времени (единовременный срез информации по данному объекту). Например, обследование учащихся в стоматологической поликлинике дает состояние их зубов в данный момент времени: соотношение молочных и постоянных, наличие  пломб, дефектов и т.п.

Динамические – модели, описывающие процессы изменения и развития системы (изменения объекта во времени). Примеры: описание движения тел, развития организмов, процесс химических реакций.

При строительстве дома рассчитывают прочность его фундамента, стен, балок и устойчивость их к постоянной нагрузке. Это статическая модель здания. Но надо так же обеспечить противодействие ветрам, движению грунтовых вод, сейсмическим колебаниям и другим изменяющимся во времени факторам. Эти вопросы можно решить с помощью динамических моделей.

Таким образом, один и тот же объект можно охарактеризовать и статической и динамической моделью.

 

3) Классификация моделей по отрасли знаний

— это классификация по отрасли деятельности человека: математические, биологические, химические, социальные, экономические, исторические и тд

 

4) Классификация моделей по форме представления:

Материальные – это предметные (физические) модели. Они всегда имеют реальное воплощение. Отражают внешнее свойство и внутреннее устройство исходных объектов, суть процессов и явлений объекта-оригинала. Это экспериментальный метод познания окружающей среды. Примеры: детские игрушки, скелет человека, чучело, макет солнечной системы, школьные пособия, физические и химические опыты

Абстрактные (нематериальные) – не имеют реального воплощения. Их основу составляет информация.это теоретический метод познания окружающей среды. По признаку реализации они бывают:  мысленные и вербальные; информационные

Мысленные модели формируются в воображении человека в результате раздумий, умозаключений, иногда в виде некоторого образа. Это модель способствует сознательной деятельности человека. Примером мысленной модели является модель поведения при переходе через дорогу. Человек анализирует ситуацию на дороге (какой сигнал подает светофор, как далеко находятся машины, с какой скоростью они движутся и т.п.) и вырабатывается модель поведения. Если ситуация смоделирована правильно, то переход будет безопасным, если нет, то может произойти дорожно-транспортное происшествие.

Вербальные (от лат. verbalis – устный) – мысленные модели, выраженные в разговорной форме. Используется для передачи мыслей.

Чтобы информацию можно было использовать для обработки на компьютере, необходимо выразить ее при помощи системы знаков, т.е. формализовать. Правила формализации должны быть известны и понятны тому, кто будет создавать и использовать модель. Поэтому наряду с мысленными и вербальными моделями используют более строгие – информационные модели.

Информационные модели – целенаправленно отобранная информация об объекте, которая отражает наиболее существенные для исследователя свойства этого объекта.

Типы информационных моделей :

Табличные – объекты и их свойства представлены в виде списка, а их значения размещаются в ячейках прямоугольной формы. Перечень однотипных объектов размещен в первом столбце (или строке), а значения их свойств размещаются в следующих столбцах (или строках)

Иерархические – объекты распределены по уровням. Каждый элемент высокого уровня состоит из элементов нижнего уровня, а элемент нижнего уровня может входить в состав только одного элемента более высокого уровня

Сетевые – применяют для отражения систем, в которых связи между элементами имеют сложную структуру

studfiles.net

Лекция 3. Математические модели объектов идентификации.

1. Основные термины в математическом моделировании. Множество моделей, структуры моделей. Первичная классификация математических моделей.

2. Непрерывные и дискретные модели. Линейные и нелинейные модели. Статические и динамические модели. Модели с сосредоточенными и распределенными параметрами.

М а т е м а т и ч е с к о е обеспечение имитационной системы включает в себя совокупность математических соотношений, описывающих поведение реального объекта, совокупность алгоритмов, обеспечивающих как подготовку, так и работу с моделью. Сюда могут быть отнесены алгоритмы ввода исходных данных, имитации, вывода, обработки.

Под математическим моделированиембудем понимать процесс установления соответствия данному реальному объекту некоторого математического объекта, называемого математической моделью, и исследование этой модели, позволяющее получать характеристики рассматриваемого реального объекта. Вид математической модели зависит как от природы реального объекта, так и задач исследования объекта и требуемой достоверности и точности решения этой задачи. Любая математическая модель, как и всякая другая, описывает реальный объект лишь с некоторой степенью приближения к действительности. Математическое моделирование для исследования характеристик процесса функционирования систем можно разделить на аналитическое, имитационное и комбинированное.

Для аналитического моделирования характерно то, что процессы функционирования элементов системы записываются в виде некоторых функциональных соотношений (алгебраических, интегро-дифференциальных, конечно-разностных и т.п.) или логических условий. Аналитическая модель может быть исследована следующими методами: а) аналитическим, когда стремятся получить в общем виде явные зависимости для искомых характеристик; б) численным, когда, не умея решать уравнений в общем виде, стремятся получить числовые результаты при конкретных начальных данных; в) качественным, когда, не имея решения в явном виде, можно найти некоторые свойства решения (например, оценить устойчивость решения).

Наиболее полное исследование процесса функционирования системы можно провести, если известны явные зависимости, связывающие искомые характеристики с начальными условиями, параметрами и переменными системы S. Однако такие зависимости удается получить только для сравнительно простых систем. При усложнении систем исследование их аналитическим методом наталкивается на значительные трудности, которые часто бывают непреодолимыми. Поэтому, желая использовать аналитический метод, в этом случае идут на существенное упрощение первоначальной модели, чтобы иметь возможность изучить хотя бы общие свойства системы. Такое исследование на упрощенной модели аналитическим методом помогает получить ориентировочные результаты для определения более точных оценок другими методами. Численный метод позволяет исследовать по сравнению с аналитическим методом более широкий класс систем, но при этом полученные решения носят честный характер. Численный метод особенно эффективен при использовании ЭВМ.

В отдельных случаях исследования системы могут удовлетворить и те выводы, которые можно сделать при использовании качественного метода анализа математической модели. Такие качественные методы широко используются, например, в теории автоматического управления для оценки эффективности различных вариантов систем управления.

В настоящее время распространены методы машинной реализации исследования характеристик процесса функционирования больших систем. Для реализации математической модели на ЭВМ необходимо построить соответствующий моделирующий алгоритм.

В зависимости от конкретной реализации процесса и его аппаратур-ного оформления все многообразие химико-технологических процессов можно разделить на четыре класса исходя из временнбго и пространствен-ного признаков: процессы, переменные во времени (нестационарные), и процессы, не меняющиеся во времени (стационарные) ; процессы,в ходе ко-торых их параметры изменяются в пространстве, и процессы без простран-ственного изменения параметров. Так как математические модели являют-ся отражением соответствующих объектов, то для них характерны те же классы, а именно: 1) модели, неизменные во времени, — статические мо-де/іи; 2) модели, переменные во времени, — динамические модели; 3) мо-дели, неизменные в пространстве, — модели с сосредоточенными параме-рами; 4) модели, изменяющиеся в пространстве, — модели с распределенными параметрами. Рассмотрим перечисленные классы моделей.

Модели с сосредоточенными параметрами. Для данного класса моде-лей характерно постоянство переменных в пространстве. Математическое описание включает алгебраические уравнения либо дифференциальные уравнения первого порядка для нестационарных процессов. Примером объекта, оиисываемого данным классом моделей, может служить аппарат с идеальным (полным) перемешиванием потока. Скорость мешалки такова, что концентрация во всех точках аппарата одинакова.

Модели с распределенными параметрами. Если основные переменные процесса изменяются как во времени, так и в пространстве, или если указанные изменения происходят только в пространстве, то модели описывающие такие процессы, называются моделями с распределенными параметрами. Их математическое описание включает обычно дифференцдальные уравнения в частных производных, либо обыкновенные дифференциальные случас стационарных процессов с одной пространственной пе-ременной. Примером нроцесса, описываемого такими моделями, служит трубчатый аппарат с болыним отношением длины к диаметру и значительной скоростью движения реагентов (рис. 1.3).

Статические модели. Статические модели отражают работу объекта в стационарных условиях, т.е. когда параметры процесса не меняются во времени. Соответственно математическое описание в статических моделях не включает время как переменную и состоит из алгебраических уравне-ний либо дифференциальных уравнений в случае объектов с распределен-ными параметрами. Примером объекта, описываемого статической мо-делью, служит апнарат гюлного смешения объемом V в установившемся режимс работы, в который непрерывно подаются реагеиты Л и Вв количестве ь_А, ю_в (и_А + и_в — и) и отводится продукт реакции Р.

Динамические модели. Динамическая модель отражает изменение объекта во времени. Математическое описание таких моделей обязательно включает производную по времени. Часто динамическую модель объекта строят в видс передаточных функций, связывающих входные и выходные переменныс (ирсдсгавлсние динамических моделей в виде передаточных функций особснно удобно для целей управления объектом). Примером динамической модели можст елужить модель рассмотренного выше аппара-та полного смешения, но работающего в неустановившемся режиме.

Математическая модель является системой уравнений математического описания, отражающей сущность протекающих в объекте явлений, для которой определен алгоритм решения, реализованный в форме модели-рующей программы. Согласно этому определению математическая модель должна рассматриваться в совокупности трех ее аспектов: смыслового, аналитического и вычислительного.

Смысловой аспект представляет собой физическое описание природы

моделируемого объекта.

Аналитический аспект является математическим описанием процесса в виде некоторой системы уравнений, отражающей протекающие в объекте явления и функциональные связи между ними.

Наконец, вычислительный аспект есть метод и алгоритм решения системы уравнений математического описания,. реализованные как модели-рующая программа на одном из языков программирования.

Представление математической модели процесса в виде совокупности подсистем (блоков) позволяет представить общее математическое описание как совокупность математических описаний отдельных блоков.

Применение блочного принципа построения математических моделей, который, в свою очередь, основан на системном подходе, позволяет во многих случаях также принципиально решить проблему масштабирования процессов. С точки зрения математического моделирования масштабный переход есть не что иное, как деформация математической модели при изменении геометрических размеров, характеризующих аппаратурное оформление процесса. При использовании блочного принципа построения математической модели влияние геометрических размеров на свойства процесса отражается лишь в одной подсистеме (блоке) — блоке «гидро-динамика». Поэтому при наличии достаточно корректного в качественном и количественном отношении математического описания этого блока ста-новится возможным осуществить масштабный переход.

Принципиально каждый блок математической модели может иметь различную ступень цетализации математического описания. Важно лишь, чтобы входные и выходные переменные всех блоков модели находились во взаимном соответствии, что обеспечит получение замкнутой системы уравнений математической модели процесса в целом. Что касается состава внутренних переменных блоков, то здесь существует достаточно большая свобода выбора. В идеале математическое описание каждого блока должно включать уравнения, параметрами которых являются только физико-химические свойства веществ. Однако получить такое фундаментальное описание отдельных блоков при недостаточной исследованности отдельных явлений во многих случаях в настоящее время не представляется возмож-ным. Это связано, как правило, с чрезвычайным усложнением математичес-кого описания блока, что само по себе приводит к резкому усложнению ма-тематической модели процесса в целом и, кроме того, может вызвать опре-деленные вычислительные трудности. Поэтому при практическом использо-вании блочного принципа в математическомописании каждого блока на том или ином уровне его детализации приходится применять эмпирические соотношения.

Л.1 стр.135-152, Л.4 стр.39

Контрольные вопросы

1. Что понимается под математическим моделированием ?

2. Классификация математических моделей

3. Линейные и нелинейные модели

4. Статические и динамические модели.

5. Модели с сосредоточенными и распределенными параметрами

studfiles.net

2. Формальная модель объекта.

Модель объекта моделирования, т. е. системы S, можно представить в виде множества величин, описывающих процесс функционирования реальной системы и образующих в общем случае следующие подмножества:

совокупность входных воздействий на систему

;

совокупность воздействий внешней среды

;

совокупность внутренних (собственных) параметров системы

;

совокупность выходных характеристик системы

.

При этом в перечисленных подмножествах можно выделить управляемые и неуправляемые переменные. В общем случае являются элементами непересекающихся подмножеств и содержат как детерминированные, так и стохастические составляющие.

При моделировании системы S входные воздействия, воздействия внешней среды Е и внутренние параметры системы являются независимыми переменными, которые в векторной форме имеют соответственно вид

а выходные характеристики системы являются зависимыми переменными и в векторной форме имеют вид .

Процесс функционирования системы S описывается во времени оператором F_s, который в общем случае преобразует независимые переменные в зависимые в соответствии с соотношениями вида

(4.1)

Совокупность зависимостей выходных характеристик системы от времени y_j(t) для всех видов называетсявыходной траекторией . Зависимость (4.1) называется законом функционирования системыS и обозначается F_s. В общем случае закон функционирования системы F_s может быт задан в виде функции, функционала, логических условий, в алгоритмической и табличной формах или в виде словесного правила соответствия.

Весьма важным для описания и исследования системы S является понятие алгоритма функционирования A_s, под которым понимается метод получения выходных характеристик с учетом входных воздействий , воздействий внешней средыи собственных параметров системы. Очевидно, что один и тот же закон функционированияF_s системы S может быть реализован различными способами, т. е. с помощью множества различных алгоритмов функционирования A_s.

Соотношения (4.1) являются математическим описанием поведения объекта (системы) моделирования во времени t, т. е. отражают его динамические свойства. Поэтому математические модели такого вида принято называть динамическими моделями (системами).

Для статических моделей математическая модель (4.1) представляет собой отображение между двумя подмножествами свойств моделируемого объекта Y и {X, V, Н}, что в векторной форме может быть записано как

(4.2)

Соотношения (4.1) и (4.2) могут быть заданы различными способами: аналитически (с помощью формул), графически, таблично и т. д.

Такие соотношения в ряде случаев могут быть получены через свойства системы S в конкретные моменты времени, называемые состояниями/

Состояние системы S характеризуется векторами

Где в момент , в момент .

Если рассматривать процесс функционирования системы S как последовательную смену состояний z₁(t), z₂(t), …, z_k(t), то они могут быть интерпретированы как координаты точки в k-мерном фазовом пространстве, причем каждой реализации процесса будет соответствовать некоторая фазовая траектория. Совокупность всех возможных значений состояний называется пространством состояний объекта моделирования Z, причем z_k  Z.

Состояния системы S в момент времени t₀<t^*≤Т полностью определяются начальными условиями входными воздействиями, внутренними параметрамии воздействиями внешней среды, которые имели место за промежуток времени t* — t₀, с помощью двух векторных уравнений

; (4,3)

. (4.4)

Первое уравнение по начальному состоянию и независимым переменнымопределяет вектор-функцию, а второе по полученному значению состояний— зависимыми переменные на выходе системы. Таким образом, цепочка уравнений объекта «вход — состояния — выход» позволяет определить характеристики системы

(4.5)

В общем случае время в модели системы S может рассматриваться на интервале моделирования (0, Т) как непрерывное, так и дискретное, т. е. квантованное на отрезки длиной t временных единиц каждый.

Таким образом, под математической моделью объекта (реальной системы) понимают конечное подмножество переменных вместе с математическими связями между ними и характеристикамию.

Если математическое описание объекта моделирования не содержит элементов случайности или они не учитываются, т. е. если можно считать, что в этом случае стохастические воздействия внешней среды и стохастические внутренние параметрыотсутствуют, то модель называется детерминированной в том смысле, что характеристики однозначно определяются детерминированными входными воздействиями

(4.6)

Очевидно, что детерминированная модель является частным случаем стохастической модели.

studfiles.net

ЛЕКЦИЯ 3. Математические модели объектов идентификации.

1. Основные термины в математическом моделировании. Множество моделей, структуры моделей. Первичная классификация математических моделей.

2. Непрерывные и дискретные модели. Линейные и нелинейные модели. Статические и динамические модели. Модели с сосредоточенными и распределенными параметрами.

М а т е м а т и ч е с к о е обеспечение имитационной системы включает в себя совокупность математических соотношений, описывающих поведение реального объекта, совокупность алгоритмов, обеспечивающих как подготовку, так и работу с моделью. Сюда могут быть отнесены алгоритмы ввода исходных данных, имитации, вывода, обработки.

Под математическим моделированием будем понимать процесс установления соответствия данному реальному объекту некоторого математического объекта, называемого математической моделью, и исследование этой модели, позволяющее получать характеристики рассматриваемого реального объекта. Вид математической модели зависит как от природы реального объекта, так и задач исследования объекта и требуемой достоверности и точности решения этой задачи. Любая математическая модель, как и всякая другая, описывает реальный объект лишь с некоторой степенью приближения к действительности. Математическое моделирование для исследования характеристик процесса функционирования систем можно разделить на аналитическое, имитационное и комбинированное.

Для аналитического моделирования характерно то, что процессы функционирования элементов системы записываются в виде некоторых функциональных соотношений (алгебраических, интегро-дифференциальных, конечно-разностных и т.п.) или логических условий. Аналитическая модель может быть исследована следующими методами: а) аналитическим, когда стремятся получить в общем виде явные зависимости для искомых характеристик; б) численным, когда, не умея решать уравнений в общем виде, стремятся получить числовые результаты при конкретных начальных данных; в) качественным, когда, не имея решения в явном виде, можно найти некоторые свойства решения (например, оценить устойчивость решения).

Наиболее полное исследование процесса функционирования системы можно провести, если известны явные зависимости, связывающие искомые характеристики с начальными условиями, параметрами и переменными системы S. Однако такие зависимости удается получить только для сравнительно простых систем. При усложнении систем исследование их аналитическим методом наталкивается на значительные трудности, которые часто бывают непреодолимыми. Поэтому, желая использовать аналитический метод, в этом случае идут на существенное упрощение первоначальной модели, чтобы иметь возможность изучить хотя бы общие свойства системы. Такое исследование на упрощенной модели аналитическим методом помогает получить ориентировочные результаты для определения более точных оценок другими методами. Численный метод позволяет исследовать по сравнению с аналитическим методом более широкий класс систем, но при этом полученные решения носят честный характер. Численный метод особенно эффективен при использовании ЭВМ.

В отдельных случаях исследования системы могут удовлетворить и те выводы, которые можно сделать при использовании качественного метода анализа математической модели. Такие качественные методы широко используются, например, в теории автоматического управления для оценки эффективности различных вариантов систем управления.

В настоящее время распространены методы машинной реализации исследования характеристик процесса функционирования больших систем. Для реализации математической модели на ЭВМ необходимо построить соответствующий моделирующий алгоритм.

В зависимости от конкретной реализации процесса и его аппаратур-ного оформления все многообразие химико-технологических процессов можно разделить на четыре класса исходя из временнбго и пространствен-ного признаков: процессы, переменные во времени (нестационарные), и процессы, не меняющиеся во времени (стационарные) ; процессы,в ходе ко-торых их параметры изменяются в пространстве, и процессы без простран-ственного изменения параметров. Так как математические модели являют-ся отражением соответствующих объектов, то для них характерны те же классы, а именно: 1) модели, неизменные во времени, — статические модели; 2) модели, переменные во времени, — динамические модели; 3) мо-дели, неизменные в пространстве, — модели с сосредоточенными параметрами; 4) модели, изменяющиеся в пространстве, — модели с распределенными параметрами. Рассмотрим перечисленные классы моделей.

Модели с сосредоточенными параметрами.Для данного класса моделей характерно постоянство переменных в пространстве. Математическое описание включает алгебраические уравнения либо дифференциальные уравнения первого порядка для нестационарных процессов. Примером объекта, оиисываемого данным классом моделей, может служить аппарат с идеальным (полным) перемешиванием потока. Скорость мешалки такова, что концентрация во всех точках аппарата одинакова.

Модели с распределенными параметрами. Если основные переменные процесса изменяются как во времени, так и в пространстве, или если указанные изменения происходят только в пространстве, то модели описывающие такие процессы, называются моделями с распределенными параметрами. Их математическое описание включает обычно дифференцдальные уравнения в частных производных, либо обыкновенные дифференциальные случас стационарных процессов с одной пространственной переменной. Примером процесса, описываемого такими моделями, служит трубчатый аппарат с болыним отношением длины к диаметру и значительной скоростью движения реагентов (рис. 1.3).

Статические модели. Статические модели отражают работу объекта в стационарных условиях, т.е. когда параметры процесса не меняются во времени. Соответственно математическое описание в статических моделях не включает время как переменную и состоит из алгебраических уравне-ний либо дифференциальных уравнений в случае объектов с распределен-ными параметрами. Примером объекта, описываемого статической мо-делью, служит апнарат гюлного смешения объемом V в установившемся режимс работы, в который непрерывно подаются реагеиты Л и Вв количестве ь_А, ю_в (и_А+ и_в — и) и отводится продукт реакции Р.

Динамические модели. Динамическая модель отражает изменение объекта во времени. Математическое описание таких моделей обязательно включает производную по времени. Часто динамическую модель объекта строят в видс передаточных функций, связывающих входные и выходные переменныс (ирсдсгавлсние динамических моделей в виде передаточных функций особснно удобно для целей управления объектом). Примером динамической модели можст елужить модель рассмотренного выше аппара-та полного смешения, но работающего в неустановившемся режиме.

Математическая модель является системой уравнений математического описания, отражающей сущность протекающих в объекте явлений, для которой определен алгоритм решения, реализованный в форме моделирующей программы. Согласно этому определению математическая модель должна рассматриваться в совокупности трех ее аспектов: смыслового, аналитического и вычислительного.

Смысловой аспект представляет собой физическое описание природы моделируемого объекта.

Аналитический аспект является математическим описанием процесса в виде некоторой системы уравнений, отражающей протекающие в объекте явления и функциональные связи между ними.

Наконец, вычислительный аспект есть метод и алгоритм решения системы уравнений математического описания,. реализованные как модели-рующая программа на одном из языков программирования.

Представление математической модели процесса в виде совокупности подсистем (блоков) позволяет представить общее математическое описание как совокупность математических описаний отдельных блоков.

Применение блочного принципа построения математических моделей, который, в свою очередь, основан на системном подходе, позволяет во многих случаях также принципиально решить проблему масштабирования процессов. С точки зрения математического моделирования масштабный переход есть не что иное, как деформация математической модели при изменении геометрических размеров, характеризующих аппаратурное оформление процесса. При использовании блочного принципа построения математической модели влияние геометрических размеров на свойства процесса отражается лишь в одной подсистеме (блоке) — блоке «гидро-динамика». Поэтому при наличии достаточно корректного в качественном и количественном отношении математического описания этого блока ста-новится возможным осуществить масштабный переход.

Принципиально каждый блок математической модели может иметь различную ступень цетализации математического описания. Важно лишь, чтобы входные и выходные переменные всех блоков модели находились во взаимном соответствии, что обеспечит получение замкнутой системы уравнений математической модели процесса в целом. Что касается состава внутренних переменных блоков, то здесь существует достаточно большая свобода выбора. В идеале математическое описание каждого блока должно включать уравнения, параметрами которых являются только физико-химические свойства веществ. Однако получить такое фундаментальное описание отдельных блоков при недостаточной исследованности отдельных явлений во многих случаях в настоящее время не представляется возмож-ным. Это связано, как правило, с чрезвычайным усложнением математичес-кого описания блока, что само по себе приводит к резкому усложнению ма-тематической модели процесса в целом и, кроме того, может вызвать опре-деленные вычислительные трудности. Поэтому при практическом использовании блочного принципа в математическомописании каждого блока на том или ином уровне его детализации приходится применять эмпирические соотношения.

 

 

---

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:

zdamsam.ru